2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题2 培优点5　平面向量“奔驰定理”

培优点5平面向量“奔驰定理”平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．考点一平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA→＋S△PAC·PB→＋S△PAB·PC→＝0．例1已知O是△ABC内部一点，满足OA→＋2OB→＋mOC→＝0，且S△AOBS△ABC＝47，则实数m等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析由奔驰定理得S△BOC·OA→＋S△AOC·OB→＋S△AOB·OC→＝0，又OA→＋2OB→＋mOC→＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.∴S△AOBS△ABC＝m1＋2＋m＝47，解得m＝4.易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．跟踪演练1设点O在△ABC内部，且AO→＝13AB→＋14AC→，则S△OABS△OBC＝________.答案35解析由AO→＝13AB→＋14AC→，得－12OA→＝4(OB→－OA→)＋3(OC→－OA→)，整理得5OA→＋4OB→＋3OC→＝0，所以S△OABS△OBC＝35.考点二“奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)(1)O是△ABC的重心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1⇔OA→＋OB→＋OC→＝0．(2)O是△ABC的内心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0．(3)O是△ABC的外心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin2A∶sin2B∶sin2C⇔sin2A·OA→＋sin2B·OB→＋sin2C·OC→＝0．(4)O是△ABC的垂心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tanA∶tanB∶tanC⇔tanA·OA→＋tanB·OB→＋tanC·OC→＝0．考向1“奔驰定理”与重心例2已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aGA→＋40bGB→＋35cGC→＝0，则B＝________.答案π3解析依题意，可得56a＝40b＝35c，所以b＝75a，c＝85a，所以cosB＝a2＋85a2－75a22a×85a＝12，因为0Bπ，所以B＝π3.考向2“奔驰定理”与外心例3已知点P是△ABC的外心，且PA→＋PB→＋λPC→＝0，C＝2π3，则λ＝________.答案－1解析依题意得，sin2A∶sin2B∶sin2C＝1∶1∶λ，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，∴A＝B，又C＝2π3，∴A＝B＝π6，又sin2Bsin2C＝1λ，∴λ＝sin2Csin2B＝sin4π3sinπ3＝－1.考向3“奔驰定理”与内心例4在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若AO→＝λAB→＋μBC→，则3λ＋6μ的值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析AO→＝λAB→＋μBC→可化为OA→＋λOB→－λOA→＋μOC→－μOB→＝0，整理得(1－λ)OA→＋(λ－μ)OB→＋μOC→＝0，所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝59，μ＝29，所以3λ＋6μ＝3×59＋6×29＝3.考向4“奔驰定理”与垂心例5已知H是△ABC的垂心，若HA→＋2HB→＋3HC→＝0，则A＝________.答案π4解析依题意，可得tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，代入tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，可得6tanA＝6tan3A，因为tanA≠0，所以tanA＝±1.又因为tanAtanBtanC，所以tanA＝1，所以A＝π4.规律方法涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件．跟踪演练2(1)设I为△ABC的内心，且2IA→＋3IB→＋7IC→＝0，则角C＝________.答案π3解析由2IA→＋3IB→＋7IC→＝0，可得a∶b∶c＝2∶3∶7，令a＝2k，b＝3k，c＝7k，则cosC＝4k2＋9k2－7k22·2k·3k＝12，又C∈(0，π)，所以C＝π3.(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝π6，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为12，x，y，则x＋y的最大值是______．答案33解析方法一据奔驰定理得，12PA→＋xPB→＋yPC→＝0，即AP→＝2xPB→＋2yPC→，平方得AP→2＝4x2PB→2＋4y2PC→2＋8xy|PB→|·|PC→|·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以|PA→|＝|PB→|＝|PC→|，且∠BPC＝2∠BAC＝π3，所以x2＋y2＋xy＝14，(x＋y)2＝14＋xy≤14＋x＋y22，解得0x＋y≤33，当且仅当x＝y＝36时取等号，所以(x＋y)max＝33.方法二S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin2A∶sin2B∶sin2C，sin2A∶sin2B∶sin2C＝12∶x∶y，又∠BAC＝π6，∴sin2A＝32，∵x＝33sin2B，y＝33sin2C，∴x＋y＝33(sin2B＋sin2C)＝33sin2B＋sin5π3－2B＝33sin2B－π3.又∵B∈0，5π6，∴2B－π3∈－π3，4π3，∴sin2B－π3∈－32，1，∴x＋y∈0，33，∴(x＋y)max＝33.专题强化练1．点P在△ABC内部，满足PA→＋2PB→＋3PC→＝0，则S△ABC∶S△APC为()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3答案C解析根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO→＝λAB→＋μAC→，则实数λ和μ的值分别为()A.29，49B.49，29C.19，29D.29，19答案A解析根据奔驰定理，得3OA→＋2OB→＋4OC→＝0，即3OA→＋2(OA→＋AB→)＋4(OA→＋AC→)＝0，整理得AO→＝29AB→＋49AC→，故λ＝29，μ＝49.3．△ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝213，则△BGC的面积为()A．123B．83C．43D．4答案C解析cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝36＋64－522×6×8＝12，又A∈(0，π)，∴A＝π3，∴S△ABC＝12×6×8×sinπ3＝123，又G为△ABC的重心，∴GA→＋GB→＋GC→＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC＝13S△ABC＝43.4.如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝60°，M为△ABC的外心，若AM→＝λAB→＋μAC→，λ，μ∈R，则4λ＋3μ等于()A.34B.53C.73D.83答案C解析在△ABC中，由余弦定理，可得BC＝82＋62－2×8×6cos60°＝213，所以圆M的半径R＝2132sin60°＝2393，所以S△AMB＝12×8×23932－42＝833，S△BMC＝12×213×23932－132＝1333，S△CMA＝12×6×23932－32＝53.由AM→＝λAB→＋μAC→，可得MA→＋λMB→－λMA→＋μMC→－μMA→＝0，整理得(1－λ－μ)MA→＋λMB→＋μMC→＝0，所以S△AMB∶S△BMC∶S△CMA＝μ∶(1－λ－μ)∶λ＝8∶13∶15，解得λ＝512，μ＝29，所以4λ＋3μ＝73.5.如图，设P，Q为△ABC内的两点，且AP→＝25AB→＋15AC→，AQ→＝23AB→＋14AC→，则下列结论正确的是()①S△ABPS△ABC＝15；②S△ABQS△ABC＝13；③S△ABPS△ABQ＝45；④S△ABPS△ABQ＝34.A．①②B．①③C．①②④D．②④答案B解析由AP→＝25AB→＋15AC→，可得PA→＋25PB→－25PA→＋15PC→－15PA→＝0，整理得25PA→＋25PB→＋15PC→＝0，所以2PA→＋2PB→＋PC→＝0，S△ABPS△ABC＝12＋2＋1＝15，故①正确；由AQ→＝23AB→＋14AC→，可得QA→＋23QB→－23QA→＋14QC→－14QA→＝0，整理得112QA→＋23QB→＋14QC→＝0，所以QA→＋8QB→＋3QC→＝0，所以S△ABQS△ABC＝31＋8＋3＝14，S△ABPS△ABQ＝45，故②，④错误，③正确．6．△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14,2OA→＋2OB→＋3OC→＝0，则△ABC的外接圆面积为________．答案64π7解析∵2OA→＋2OB→＋3OC→＝0，且O为内心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC＝12(a＋b＋c)·r⇒12×7k×2＝14⇒k＝2，∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cosC＝－18，sinC＝378，又2R＝csinC＝6378⇒R＝87＝877，∴外接圆面积S＝πR2＝64π7.7．若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA→＋4OB→＋5OC→＝0．则△ABC的面积为______．答案65解析∵3OA→＋4OB→＝－5OC→，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝1，∴9|OA→|2＋16|OB→|2＋24OA→·OB→＝25|OC→|2，∴OA→·OB→＝0，∴OA⊥OB，∴S△AOB＝12×1×1＝12，由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，∴S△AOB＝53＋4＋5·S△ABC，∴S△ABC＝125S△AOB＝65.8.已知点P，Q在△ABC内，PA→＋2PB→＋3PC→＝2QA→＋3QB→＋5QC→＝0，则|PQ→||AB→|＝________.答案130解析根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝12S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝16S△ABC，S△QBC＝15S△ABC，∴|PQ→||AB→|＝S△QBC－S△PBCS△ABC＝15－16＝130.