2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题2 培优点6　向量极化恒等式

培优点6向量极化恒等式平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．考点一向量极化恒等式极化恒等式：a·b＝a＋b22－a－b22.变式：(1)a·b＝a＋b24－a－b24，a·b＝|a＋b|24－|a－b|24.(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则AB→·AC→＝AM→2－14CB→2＝AM→2－MB→2.考向1利用向量极化恒等式求值例1(1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝45，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则AE→·AF→＝________.答案27解析BD＝AB2＋AD2＝12，∴AO＝6，OE＝3，∴由极化恒等式知AE→·AF→＝AO→2－OE→2＝36－9＝27.(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值为________．答案78解析设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，得AB→·AC→＝AD→2－DB→2＝9n2－m2＝4，①FB→·FC→＝FD→2－DB→2＝n2－m2＝－1.②联立①②，解得n2＝58，m2＝138.因此EB→·EC→＝ED→2－DB→2＝4n2－m2＝78.即BE→·CE→＝78.考向2利用向量极化恒等式求最值、范围例2(1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________．答案－12解析如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，由极化恒等式得PO→·PC→＝PD→2－DO→2＝PD→2－14，因此当P为OC的中点，即|PD→|＝0时，(PA→＋PB→)·PC→取得最小值－12.(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________．答案－98解析由向量极化恒等式知a·b＝2a＋b2－2a－b28＝|2a＋b|2－|2a－b|28≥02－328＝－98，当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，即|a|＝34，|b|＝32，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值．规律方法利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．跟踪演练1(1)如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→＝λBC→，AD→·AB→＝－32，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|＝1，则DM→·DN→的最小值为________．答案16132解析依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由AD→·AB→＝|AD→|·|AB→|·cos∠BAD＝－32|AD→|＝－32，得|AD→|＝1，因此λ＝AD→BC→＝16.取MN的中点E，连接DE(图略)，则DM→＋DN→＝2DE→，DM→·DN→＝14[(DM→＋DN→)2－(DM→－DN→)2]＝DE→2－14NM→2＝DE→2－14.当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sinB＝332，因此DE→2－14的最小值为3322－14＝132，即DM→·DN→的最小值为132.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM→·PN→的取值范围是________．答案[0,2]解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O，则PM→·PN→＝PO→2－ON→2＝PO→2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，3]，所以PM→·PN→∈[0,2]．考点二等和(高)线解基底系数和(差)问题等和(高)线平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OP′—→，OP′—→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．例3(1)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D．1答案A解析方法一设BM→＝tBC→(0≤t≤1)，则AN→＝12AM→＝12(AB→＋BM→)＝12AB→＋12BM→＝12AB→＋t2BC→＝12AB→＋t2(AC→－AB→)＝12－t2AB→＋t2AC→，所以λ＝12－t2，μ＝t2，所以λ＋μ＝12.方法二如图，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝|AN→||AM→|.由图易知，|AN→||AM→|＝12.(2)如图，圆O是边长为23的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，BM→＝xBA→＋yBD→(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为()A.2B.3C．2D．22答案C解析如图，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，则BM→＝xBA→＋yBD→＝2x·12BA→·＋yBD→＝2xBE→＋yBD→，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，则k＝|NB→||PB→|＝2，所以2x＋y取得最大值2.易错提醒要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线．跟踪演练2给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．答案2解析方法一以O为坐标原点，OA→所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则A(1,0)，B－12，32，设∠AOC＝αα∈0，2π3，则C(cosα，sinα)．由OC→＝xOA→＋yOB→，得cosα＝x－12y，sinα＝32y，所以x＝cosα＋33sinα，y＝233sinα，所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6，又α∈0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值2.图(1)图(2)方法二令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝|OD→||OE→|＝2.专题强化练1．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则PD→·PC→的最大值是()A.92B．2C.32D.34答案B解析如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得PD→·PC→＝PE→2－EC→2＝PE→2－12，所以当P与A(B)重合时，|PE|＝102最大，从而(PD→·PC→)max＝2.2.如图，在四边形MNPQ中，若NO→＝OQ→，|OM→|＝6，|OP→|＝10，MN→·MQ→＝－28，则NP→·QP→等于()A．64B．42C．36D．28答案C解析由MN→·MQ→＝MO→2－ON→2＝36－ON→2＝－28，解得ON→2＝64，所以OQ→2＝64，所以NP→·QP→＝PQ→·PN→＝PO→2－OQ→2＝100－64＝36.3．若A，B为双曲线x216－y24＝1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点，则MA→·MB→的最大值为()A.154B．7C．－7D．－16答案C解析如图，O为AB的中点，MA→·MB→＝MO→2－14BA→2，|MO|max＝|OC|＋1＝3，|AB|min＝2a＝8，所以()MA→·MB→max＝9－14×64＝－7.4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内任意一点(含边界)，且AP→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的取值范围为()A．[0,1]B．[0,2]C．[0,3]D．[0,4]答案C解析如图，当P位于点A时，(λ＋μ)min＝0，当P位于点D时，(λ＋μ)max＝3.5．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB→·PC→≥P0B—→·P0C—→，则()A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC答案D解析如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝14AB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，连接DP0，DP，则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.根据向量的极化恒等式，有PB→·PC→＝PD→2－DB→2，P0B—→·P0C—→＝P0D—→2－DB→2.又PB→·PC→≥P0B—→·P0C—→，则|PD→|≥|P0D—→|恒成立，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.6．已知等边△ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA→·PB→的取值范围是______．答案[－2,6]解析如图所示，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝23.又由极化恒等式得PA→·PB→＝PD→2－14BA→2＝PD→2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min＝1，所以PA→·PB→∈[－2,6]．7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB→的最大值是______．答案2解析如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则OC→·OB→＝OM→2－14.因为OM≤ON＋NM＝12AD＋AB＝32，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以OC→·OB→的最大值为2.8.如图，已知点P为等边△ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若AP→＝x1AB→＋y1AC→，AQ→＝x2AB→＋y2AC→，则|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|的最大值为________．答案73解析由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时，x1＋y1取最大值，x2＋y2取最小值，且x1＋y1的最大值为APAM＝43，x2＋y2的最小值为AQAM＝13.故|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|＝|2(x1＋y1)－(x2＋y2)|≤83－13＝73.