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2023届高考数学三轮冲刺卷：数列的周期性一、选择题（共20小题；）1.已知数列{}中，，，则()A.B.C.D.2.把正整数按如图所示的规律排序，则从到的箭头方向依次为()A.B.C.D.3.数列{}满足，()，则()A.B.C.D.4.设()表示正整数的个位数，例如()．若()()，则数列{}的前项的和等于()A.B.C.D.5.已知数列{}满足()，，则的值为()A.B.C.D.6.已知数列{}中，，，()，则()A.B.C.D.7.一个机器猫每秒钟前进或后退步，程序设计人员让机器猫以每前进步后再后退步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以步的距离为个单位长，令()表示第秒时机器猫所在的位置的坐标，且()，那么下列结论中错误的是()A.()B.()C.()D.()()8.已知数列{}满足，√√（），则等于()A.B.√C.√D.√9.已知数列{}中，，，，能使的可以等于()A.B.C.D.10.已知数列{}满足∣∣∣∣()，如果，该数列前项的和是()A.B.C.D.11.已知数列{}满足√，且，则该数列的前项的和等于()A.B.C.D.12.在数列{}中，，，()，则()A.B.C.D.13.数列{}满足，，其前项的积为，则的值为()A.B.C.D.14.已知数列{}满足，，则等于()A.B.C.D.15.在数列{}中，，()，则的值为()A.B.C.D.以上都不对16.按照规律：那么从到的顺序为()A.B.C.D.17.已知数列{}满足，若，则()A.B.C.D.18.数列{}满足，()，则等于()A.B.C.D.19.已知()是上最小正周期为的周期函数，且当时，()，则函数()的图象在区间[]上与轴的交点的个数为()A.B.C.D.20.数列{}的通项()，其前项和为，则为()A.B.C.D.二、填空题（共5小题；）21.在数列{}中，()，设是数列{}的前项和，则：的值为．22.已知数列{}中，是其前项和，若，，，且，则．23.若数列{}满足，，()，则等于．24.已知数列{}满足，√√()，则．25.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为．第二位同学首次报出的数也为，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第个数被报出时，五位同学拍手的总次数为．三、解答题（共5小题；）26.设函数()定义如下表，数列{}()满足，且对于任意的正整数，均有()，求的值．()27.已知在数列{}中，，，通项是关于的一次函数．（1）求{}的通项公式并求；（2）若{}是由，，，组成的，试归纳出{}的一个通项公式．28.已知数列{}的一个通项公式为，，求数列{}的最大项．29.已知实数[]，∑，，当∑取到最大值时，有多少个?30.用数学归纳法证明：()()()()()．答案1.A2.B3.D4.D【解析】因为，，，，，，，，，，数列{}的前项和为，又数列{}是周期为的周期数列，所以．5.C6.C7.D【解析】易知A、B正确，又机器猫每秒钟实际向前进一步，故()()()()()()．8.A9.C10.D11.C【解析】因为，√，所以，从而，，，可得{()()，故数列的前项的和()．12.B【解析】因为在数列{}中，，，()，所以，同理可得，，，，，，可得．则.13.B【解析】由得．因为，所以，，，，．故数列{}具有周期性，周期为，因为，所以．14.C【解析】由及递推公式，得，，，，．由此，{}是以为周期的数列，所以．15.C16.A17.D【解析】由已知，，，，，依此规律数列{}周期为，又，故．18.D19.B【解析】当时，令()，得或．根据周期函数的性质，由()的最小正周期为，可知()在[)上有个零点，又()()()，所以()在[]上与轴的交点个数为．20.A【解析】由于{}以为周期，故()()()∑[()()()]∑()21.22.【解析】由题可知，，，，，，．周期为，．23.【解析】我们分别列举出前几项，发现{}的是周期数列，周期为，所以．24.√25.【解析】所报的数依次为，他们被除的余数分别为，这个余数组成的数列每个数出现一个，即原数可以被整除，然后算下前个数有几个可以被整除即可．26.因为，所以()()，()()，()()，()()，()()，不难看出数列{}是以为周期的周期数列，所以．27.（1）设()，由题意，得{解得{所以()．所以．（2）因为，，，，，即为，，，，，所以()．28.易得，且，所以当时，，即；当时，，即，所以数列{}的最大项为．29.设，则[]，且∑，∑∑∑∑．于是原问题转化为当∑取最大值时，有几个．当中有不少于两个数，且同时不等于，不等于时，设为，．（i）时，则()()()()(看作一个关于的一次函数单调递减)即()．故不改变其他数字，用代替，代替，∑增大；（ii）时，则()()，故用代替，代替，∑增大．综上所述，当∑取最大值时，至多只有一个，且．而，故中应取个，个，个．即有个．30.（）当时，左边，右边()，左边右边，所以时等式成立．（）假设()时等式成立，即()()()()，那么，当时，()()()()()()()()()()[()()()()]()()()()()()()[()]等式也成立．由（）（）可知对任意的，()()()()．