2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题4 第1讲　空间几何体

第1讲空间几何体[考情分析]空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．考点一三视图与直观图核心提炼1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．3．S直观图＝24S原图．例1(1)(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A．8B．12C．16D．20答案B解析三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝12×(2＋4)×2×2＝12.(2)如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为________．答案62a2解析如图，过点C′作C′M′∥y′轴，交x′轴于点M′，过点C′作C′D′⊥x′轴，交x′轴于点D′，则C′D′＝32a，∠C′M′D′＝45°，则C′M′＝62a，所以原三角形的高CM＝6a，底边长为a，其面积为S＝12×a×6a＝62a2.规律方法由三视图还原直观图的方法(1)注意图中实、虚线，分别是原几何体中的可视线与被遮挡线．(2)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整，准确画出原几何体．(3)由三视图还原直观图时，往往采用削体法，选定一个视图，比如俯视图，然后逐步削切正方体等几何载体．跟踪演练1(1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______(写出符合要求的一组答案即可)．答案③④(答案不唯一，②⑤也可)解析根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．(2)(2022·运城模拟)某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图2所示，其中O′A′＝O′B′，O′C′＝3，则该几何体的表面积为()A．36＋123B．24＋83C．24＋123D．36＋83答案C解析由俯视图的直观图，可得该几何体的底面是边长为4的正三角形，底面积是43，由正视图和侧视图知该几何体是三棱锥，如图所示，其中SA⊥平面ABC，SA＝6，△SAB，△SAC都是直角三角形，且S△SAB＝S△SAC＝12×SA×AB＝12×6×4＝12，△SCB是腰长为213，底边长为4的等腰三角形，则S△SCB＝12×4×2132－22＝83，所以该几何体的表面积为24＋123.考点二表面积与体积核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．2．空间几何体的体积公式(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)V锥＝13Sh(S为底面面积，h为高)．(3)V台＝13(S上＋S上·S下＋S下)h(S上，S下为底面面积，h为高)．(4)V球＝43πR3(R为球的半径)．例2(1)(2022·凌源模拟)五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式．如图所示，其屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体．若某一五脊殿屋顶的正脊长4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为()A.323立方米B.643立方米C．32立方米D．64立方米答案B解析如图所示，将屋顶分割为一个三棱柱和两个相同的四棱锥，三棱柱的底面是边长为4，高为2的等腰三角形，三棱柱的高为4.四棱锥的底面是长为4，宽为1的矩形，其高为2，所以V＝12×4×2×4＋2×13×4×1×2＝643(立方米)．(2)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙＝2，则V甲V乙等于()A.5B．22C.10D.5104答案C解析方法一因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合S甲S乙＝2，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝l2－r21＝5，h2＝l2－r22＝22，所以V甲V乙＝13πr21h113πr22h2＝4522＝10.方法二设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，则由S甲S乙＝πr1lπr2l＝n1πl22πn2πl22π＝2，得r1r2＝n1n2＝2.由题意知n1＋n2＝2π，所以n1＝4π3，n2＝2π3，所以2πr1＝4π3l，2πr2＝2π3l，得r1＝23l，r2＝13l.由勾股定理得，h1＝l2－r21＝53l，h2＝l2－r22＝223l，所以V甲V乙＝13πr21h113πr22h2＝4522＝10.规律方法空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．跟踪演练2(1)(2022·锦州质检)2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”．其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”．“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目．“水立方”的设计灵感来自于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是()A．24(3＋1)B．243＋6C．483＋24D．163＋8答案C解析边长为2的正方形的面积为2×2＝4，正六边形的面积为6×12×2×2×32＝63，又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有6×4÷3＝8(个)．所以该多面体的表面积是S＝8×63＋6×4＝483＋24.(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是()A.72π24B.73π24C.72π12D.73π12答案B解析如图，设上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，母线长为l，则2πr＝π·1,2πR＝π·2，解得r＝12，R＝1，l＝2－1＝1，h＝l2－R－r2＝12－122＝32，上底面面积S′＝π·122＝π4，下底面面积S＝π·12＝π，则该圆台的体积为13(S＋S′＋SS′)h＝13×π＋π4＋π2×32＝73π24.考点三多面体与球核心提炼求空间多面体的外接球半径的常用方法(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．例3(1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为()A．(2－3)∶1B．(23－3)∶1C．(3－1)∶3D．(3－1)∶2答案C解析因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC，又因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径R＝12×22＋22＋22＝3，设该三棱锥的内切球的半径为r，因为∠BAC＝90°，所以BC＝AB2＋AC2＝22＋22＝22，因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝VA＝2，所以VB＝VC＝VA2＋AB2＝22＋22＝22，由三棱锥的体积公式可得，3×13×12×2×2·r＋13×12×22×22×32·r＝13×12×2×2×2⇒r＝3－33，所以r∶R＝3－33∶3＝(3－1)∶3.(2)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A.13B.12C.33D.22答案C解析该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．设圆锥的高为h(0h1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝13πr2h＝13π(1－h2)h，则V′＝13π(1－3h2)，令V′＝13π(1－3h2)＝0，得h＝33(负值舍去)，所以V＝13π(1－h2)h在0，33上单调递增，在33，1上单调递减，所以当h＝33时，四棱锥的体积最大．规律方法(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解．(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．跟踪演练3(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144πD．192π答案A解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO21＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.综上，该球的表面积为100π.(2)(2022·衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为________，该组合体的外接球的体积为________．答案6823π解析如图，连接PA交底面BCD于点O，则点O就是该组合体的外接球的球心．设三棱锥的底面边长为a，则CO＝PO＝R＝33a，得2×33a＝2，所以a＝6，R＝2，所以V＝43π·(2)3＝823π.专题强化练一、选择题1．(2022·唐山模拟)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3答案A解析设球的半径为r，依题意知圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积为2πr·2r＝4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1∶1.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．22C．4D．42答案B解析设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，所以2π×2＝πl，解得l＝22.3.(2022·福州模拟)已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面△ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A′B′C′，其中O