2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 微重点13　离心率的范围问题

微重点13离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围例1(1)(2022·南京模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝π3，则e1e2的最小值为()A.32B.32C.34D.34答案A解析设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1||PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝π3，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cosπ3，整理得a21＋3a22＝4c2，故1e21＋3e22＝4.又4＝1e21＋3e22≥21e21×3e22＝23e1e2，即2≥3e1e2，所以e1e2≥32，即e1e2的最小值为32，当且仅当1e21＝3e22.即e1＝22，e2＝62时，等号成立．(2)(2022·杭州模拟)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点(点M在第一象限)．若|MN|＝|F1F2|，|NF1||MF1|≥33，则椭圆C的离心率e的最大值为()A.6－12B.6－1C.3－12D.3－1答案D解析依题意作图，如图所示，由于|MN|＝|F1F2|，并且线段MN，F1F2互相平分，∴四边形MF1NF2是矩形，其中∠F1MF2＝π2，∴|NF1|＝|MF2|，设|MF2|＝x，则|MF1|＝2a－x，根据勾股定理得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即x2＋(2a－x)2＝4c2，整理得x2－2ax＋2b2＝0，由于点M在第一象限，则x＝a－a2－2b2，由题意得|NF1||MF1|＝|MF2||MF1|≥33，∠MF1F2≥π6，即|MF2|≥12|F1F2|，a－a2－2b2≥c，整理得2a2－2ac－c2≥0，e2＋2e－2≤0，解得0＜e≤3－1，即e的最大值为3－1.规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．跟踪演练1(2022·嘉兴模拟)如图，已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，O为坐标原点，其渐近线与圆x2＋y2＝a2在第二象限交于点P，过P作圆的切线过双曲线的左焦点且与右支交于点Q，若|PQ||QF2|＋25|OF2|，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案2，53解析因为OP⊥PF1，所以|PF1|＝c2－a2＝b.由双曲线的定义得|PQ|＋b－|QF2|＝2a，所以|PQ|＝2a－b＋|QF2|，因为|PQ||QF2|＋25|OF2|，所以2a－b＋|QF2||QF2|＋25c，所以2a－b25c，即2a－25cb，所以2a－25c2b2＝c2－a2，所以21e2＋40e－1250，所以(3e－5)(7e＋25)0，所以e53，因为直线F1Q与双曲线的右支相交，所以tan∠QF1F2ba，所以abba，所以a2b2＝c2－a2，所以c2－2a20，所以e22，所以e2.所以2e53.考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围例2(1)(2022·西安模拟)圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，过上底面圆弧上任意一点F作平面与圆柱的侧面相交，则相交所得到曲线的离心率的最大值为()A.12B.22C.2D．2答案B解析过点F的平面与圆柱侧面相交，交线所形成的曲线为椭圆，如图，椭圆的短轴长为底面圆的直径，不妨令底面圆的半径为1，则短轴长2b＝2，∴b＝1，如图所示，当该椭圆刚好与上、下底面有一个交点时，长轴最长为EF，由图知，MENF为正方形，边长为2，则EF＝22，即2a≤22，∴a≤2，∵c2＝a2－b2＝a2－1，∴ca＝a2－1a2＝1－1a2≤22.∴0＜e≤22，e的最大值为22.(2)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是()A.0，32B.32，1C.0，12D.12，1答案C解析连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α90°，∴sinα≥sin60°，连接OA，则sinα＝|OA||OP|＝b|OP|≥32，∴|OP|≤23b3.又P是C上任意一点，则|OP|max≤23b3，又|OP|max＝a，∴a≤23b3，则由a2＝b2＋c2，得e2≤14，又0e1，∴e∈0，12.规律方法利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．跟踪演练2(2022·运城模拟)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A(a，0)，Q(3a，0)在x轴上，若双曲线C上存在一点P(异于点A)使得AP⊥PQ，则C的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，2]D．(1，2)答案D解析设P(x，y)，∵AP⊥PQ，∴P点的轨迹方程为(x－2a)2＋y2＝a2(x≠a，x≠3a)．联立x－2a2＋y2＝a2，x2a2－y2b2＝1，消去y并整理得(a2＋b2)x2－4a3x＋3a4－a2b2＝0，解得x＝a(舍去)，x＝3a3－ab2a2＋b2，由题意知点P在双曲线的右支上，即xa，故3a3－ab2a2＋b2a，化简得a2b2，∵e＝1＋b2a2，∴1e2.考点三利用几何图形的性质求离心率的范围例3(1)(2022·乐清模拟)设F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，若在直线x＝－a2c(c为半焦距)上存在点P，使|PF1|的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为()A.0，33B.33，1C.0，22D.22，1答案B解析如图所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1，可得焦距|F1F2|＝2c，因为在直线x＝－a2c上存在点P，使|PF1|的长度恰好为椭圆的焦距，可得|MF1|≤2c，即a2c－c≤2c，可得a2≤3c2，即c2a2≥13，解得ca≥33，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，所以e∈33，1.(2)(2022·萍乡模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cos∠PAQ≥－35，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，13]B.1，132C.1，213D．[21，＋∞)答案B解析以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，双曲线C的一条渐近线方程为y＝bax，由y＝bax，x2＋y2＝c2，解得(不妨设)P(a，b)，Q(－a，－b)，A(－a，0)，所以AP→＝(2a，b)，AQ→＝(0，－b)，所以cos∠PAQ＝AP→·AQ→|AP→||AQ→|＝－b24a2＋b2·b＝－b4a2＋b2≥－35，即b4a2＋b2≤35，解得b2a2≤94，所以双曲线的离心率1e＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2≤132.规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪演练3(2022·长沙市雅礼中学等十六校联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为____________．答案(2，2)解析双曲线C与直线y＝x有交点，则ba1，b2a2＝c2－a2a21，解得e＝ca2，双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则P点在右支上，设PF1与y轴交于点Q，由对称性知|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1＝2∠PF1F2＝∠PQF2，所以|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，由|QF1||OF1|得2ac，所以e＝ca2，在△PF1F2中，∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2180°，∠PF1F245°，所以c2a＝cos∠PF1F222，即e＝ca2，综上，2e2.专题强化练1．(2022·南充质检)已知F1(－c，0)，F2(c，0)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P使得PF1—→·PF2—→＝c2，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.33，32B.33，22C.3－1，32D.22，1答案B解析设点P(x，y)，PF1—→·PF2—→＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝x2－c2＋b2－b2a2x2＝c2a2x2－c2＋b2，因为0≤x2≤a2，所以b2－c2≤PF1—→·PF2—→≤b2，即b2－c2≤c2≤b2，结合b2＝a2－c2可得13≤c2a2≤12，所以e∈33，22.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.43B.53C．2D.73答案B解析方法一由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，①又|PF1|＝4|PF2|，②故联立①②，解得|PF1|＝83a，|PF2|＝23a.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝649a2＋49a2－4c22·83a·23a＝178－98e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，当cos∠F1PF2＝－1时，解得e＝53，即e的最大值为53.方法二由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝83a，|PF2|＝23a，∵|F1F2|＝2c，∴83a＋23a≥2c，∴ca≤53，即双曲线的离心率e的最大值为53.3．已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝a2＋b2a，且PQ⊥l，垂足为Q.若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.22，1B．(2－1,1)C．(0，2－1)D.0，22答案B解析设P(x0，y0)，则Qa2＋b2a，y0，∵四边形QPF1F2为平行四边形，∴|PQ|＝|F1F2|，∴a2＋b2a－x0＝2c，即x0＝a2＋b2a－2c＝2a2－c2－2aca∈(－a，a)，∴－12a2－c2－2aca21，∴－12－e2－2e1，得2－1e1.4．(2022·湘豫名校联考)已知双曲线M：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆O与双曲线M在第一象限交于点A，若tan∠AF2F1≤2，则双曲线M的离心率的取值范围为()A．[3，＋∞)B．(1，3]C．(1，5]D．[5，＋∞)答案D解析依题意可得|AF1|－|AF