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2023届高考数学三轮冲刺卷：数列的性质一、选择题（共20小题；）1.已知{}是等比数列，则“”是“{}是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知数列{}中，，，则()A.B.C.D.3.已知数列{}满足：，，则数列{}是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.无法确定4.已知数列{}满足，，则等于()A.B.C.D.5.已知等比数列{}是一个公比为的递增数列，若，，则该数列的首项()A.B.C.D.不能确定6.设等差数列{}满足：，()，公差()，则数列{}的前项和的最大值为()A.B.C.D.7.一个机器猫每秒钟前进或后退步，程序设计人员让机器猫以每前进步后再后退步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以步的距离为个单位长，令()表示第秒时机器猫所在的位置的坐标，且()，那么下列结论中错误的是()A.()B.()C.()D.()()8.在等比数列中，已知，则等于()A.()B.()C.D.()9.设等差数列{}的公差为．若数列{}为递减数列，则()A.B.C.D.10.设{}是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“{}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知数列{}的通项公式为()()，则数列{}()A.有最大项，没有最小项B.有最小项，没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项12.在各项都为正数的数列{}中，首项，且点()在直线上，则数列{}的前项和等于()A.B.()C.D.13.已知{}是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列{}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.已知数列{}满足√，且，则该数列的前项的和等于()A.B.C.D.15.若数列{}是正项递增等比数列，表示其前项的积，且，则当取最小值时，的值等于()A.B.C.D.16.在数列{}中，，，则()A.B.C.D.17.在数列{}中，，，()，则()A.B.C.D.18.数列{}满足，，其前项的积为，则的值为()A.B.C.D.19.在数列{}中，，()，则的值为()A.B.C.D.以上都不对20.已知数列{}的通项公式为，则数列{}中的最大项是()A.B.C.D.二、填空题（共5小题；）21.在数列{}中，()，设是数列{}的前项和，则：的值为．22.设数列{}的前项和为，且，，．请写出一个满足条件的数列{}的通项公式．23.已知等差数列{}的前项和为，且，，设，若对于一切正整数，总有成立，则实数的取值范围是．24.如图，过抛物线()焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，为抛物线准线与轴的交点，且，则．25.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为．第二位同学首次报出的数也为，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第个数被报出时，五位同学拍手的总次数为．三、解答题（共5小题；）26.已知数列{}为等差数列，，．（1）求数列{}的通项公式和前项和公式；（2）若，，依次成等比数列，求的值．27.判断下列函数是否存在零点．若存在，求出零点．（1）()；（2）()．28.若数列()，求数列{}的最大项．29.已知数列{}与{}满足()，．（1）若，且，求数列{}的通项公式；（2）设{}的第项是最大项，即()，求证：数列{}的第项是最大项．30.已知实数[]，∑，，当∑取到最大值时，有多少个?答案1.B【解析】假设等比数列{}的首项，公比，则，，，但数列{}不是递增数列，若数列{}是递增数列，由定义可知，，故“”是“{}是递增数列”的必要不充分条件．2.A3.B【解析】因为，，所以，，所以{}是递减数列．4.C【解析】由及递推公式，得，，，，．由此，{}是以为周期的数列，所以．5.C6.C【解析】因为，所以()()，化为：．因为()()()()()所以()，所以，因为公差()，所以，．由()()，得．所以或最大，最大值为()．7.D【解析】易知A、B正确，又机器猫每秒钟实际向前进一步，故()()()()()()．8.D【解析】设等比数列的前项和为，则．易知等比数列的公比，首项，所以，于是，所以()．9.C【解析】因为数列{}为递减数列，[()]()，所以．10.D11.C12.A【解析】由点()在直线上，得，即()()，又数列{}各项均为正数，且，所以，所以，即，所以数列{}是首项，公比的等比数列，其前项和()()．13.B【解析】若，可取数列{}为，，，，，，则可得数列{}为，，，，，，显然数列{}不是递增数列，即“”不是“数列{}为递增数列”的充分条件；若数列{}为递增数列，则有，所以，得，所以，则“”是“数列{}为递增数列”的必要条件．故“”是“数列{}为递增数列”的必要不充分条件．14.C【解析】因为，√，所以，从而，，，可得{()()，故数列的前项的和()．15.B【解析】由，得，所以．故．因为数列{}是正项递增数列，所以，因此当时，取得最小值．16.A【解析】数列{}中，，，当时，，当时，，当时，，当时，，故数列的周期为，所以．17.B【解析】因为在数列{}中，，，()，所以，同理可得，，，，，，可得．则.18.B【解析】由得．因为，所以，，，，．故数列{}具有周期性，周期为，因为，所以．19.C20.B【解析】()，又，所以当时，取得最大值，为．21.22.()（答案不唯一）【解析】，，则数列{}是递增的，，，即最小，只要前项均为负数，或前项为负数，第项为，即可，所以，满足条件的数列{}的一个通项公式()（答案不唯一）．23.[)【解析】设等差数列{}的公差为，由题意得{解得，．所以()，所以()()，所以()，所以()()()()()，所以当时，，且，所以的最大值为．若对于一切正整数，总有成立，则实数的取值范围是[)．24.√25.【解析】所报的数依次为，他们被除的余数分别为，这个余数组成的数列每个数出现一个，即原数可以被整除，然后算下前个数有几个可以被整除即可．26.（1）设数列{}的公差为，因为，，所以{()解得{因为()，所以所求通项公式为，因为()，所以所求前项和公式为．（2）因为，，依次成等比数列，所以，所以()()()，解得．27.（1）由于()()()，因此方程()的两根分别为，，故函数()存在零点，且零点是，．（2）由于()()()()，令()，得或．故函数()存在零点，且零点是，．28.，当时，，即，当时，，即，又因为，所以数列{}的最大项为．29.（1）因为()，，所以()()，所以{}是等差数列，首项为，公差为，即．（2）由()，得，所以{}为常数列，，即，因为，，所以，即，所以{}的第项是最大项．30.设，则[]，且∑，∑∑∑∑．于是原问题转化为当∑取最大值时，有几个．当中有不少于两个数，且同时不等于，不等于时，设为，．（i）时，则()()()()(看作一个关于的一次函数单调递减)即()．故不改变其他数字，用代替，代替，∑增大；（ii）时，则()()，故用代替，代替，∑增大．综上所述，当∑取最大值时，至多只有一个，且．而，故中应取个，个，个．即有个．