2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第2部分 思想方法　第3讲　分类讨论思想

第3讲分类讨论思想思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝23时，直线l的方程为()A．x＝0B．15x－8y－8＝0C．3x－4y＋4＝0或x＝0D．3x＋4y－4＝0或x＝0思路分析设直线方程→k存在，l：y＝kx＋1→圆心到直线l的距离d＝1求解→斜率不存在，l：x＝0.答案D解析因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，因为|AB|＝23，所以圆心到直线的距离为d＝1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心(－1,3)到直线的距离为1，满足条件；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，圆心到直线l的距离为d＝|－k－3＋1|1＋k2，所以|－k－3＋1|1＋k2＝1，解得k＝－34，此时直线方程为3x＋4y－4＝0，综上，所求直线方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.(2)已知数列{an}满足a1＝－2，a2＝2，an＋2－2an＝1－(－1)n，则下列选项不正确的是()A．{a2n－1}是等比数列B.i＝15(a2i－1＋2)＝－10C．{a2n}是等比数列D.i＝110ai＝52思路分析an＋2－2an＝1－－1n→n为奇，{a2n－1}为等比数列；n为偶，{a2n}为等比数列答案B解析对于A，当n是奇数时，an＋2－2an＝2，所以an＋2＋2＝2(an＋2)，又因为a1＝－2，所以a1＋2＝0，所以当n是奇数时，an＋2＝0，即an＝－2，即{a2n－1}是以首项为－2，公比为1的等比数列，即选项A正确；对于B，由A知，当n是奇数时，an＋2＝0，所以i＝15(a2i－1＋2)＝0，即选项B错误；对于C，当n为偶数时，an＋2－2an＝0，即an＋2＝2an，又因为a2＝2，所以an＋2an＝2，所以{a2n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故选项C正确；对于D，i＝110ai＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝－10＋2×1－251－2＝52，即选项D正确．批注涉及数列中(－1)n的问题，一般需分奇偶讨论，当n为奇数时，首项是a1，an是第n＋12个奇数项；当n为偶数时，首项是a2，an是第n2个偶数项．规律方法解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．例2设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，则|PF1||PF2|＝________.思路分析求|PF1||PF2|→找|PF1|，|PF2|适合的条件→讨论Rt△PF1F2的直角顶点答案72或2解析若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，∴|PF1||PF2|＝72.若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，又|PF1||PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上可知，|PF1||PF2|＝72或2.批注P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，并没有说明哪个点是直角顶点，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键．规律方法圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3(2022·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x＋1x(x0)，若fx[fx]2＋a的最大值为25，则正实数a＝________.思路分析令fx＝t→fx[fx]2＋a＝tt2＋a＝1t＋at→利用函数y＝t＋at的单调性求最值.答案1解析令t＝x＋1x(x0)，则t≥2，则fx[fx]2＋a＝tt2＋a＝1t＋at，令y＝t＋at(a0，t≥2)，当0a≤4时，y＝t＋at在[2，＋∞)上单调递增，y＝t＋at≥2＋12a，则01t＋at≤2a＋4，即fx[fx]2＋a的最大值为2a＋4，则2a＋4＝25，解得a＝1；当a4时，t＋at≥2a(当且仅当t＝a时，等号成立)，则01t＋at≤a2a，即fx[fx]2＋a的最大值为a2a，则a2a＝25，解得a＝2516(舍)，综上，所求正实数a＝1.规律方法若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．