专题10-1 极坐标与参数方程题型归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析

专题10-1极坐标与参数方程题型归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................3【题型一】极坐标1：三线及三线段型.......................................................................................4【题型二】极坐标2：极坐标求面积型.......................................................................................6【题型三】极坐标3：极坐标最值型...........................................................................................8【题型四】极坐标4：面积最值................................................................................................11【题型五】极坐标5：极坐标求轨迹型.....................................................................................15【题型六】参数方程1：三等分点型.........................................................................................19【题型七】参数方程2：参数点型............................................................................................21【题型八】参数方程3：最值求参...........................................................................................24【题型九】参数方程4：复杂参数型最值与范围.......................................................................26【题型十】参数方程5：取得最值时求对应点的坐标型............................................................29【题型十一】参数方程6：交点求参数型..................................................................................32专题训练...................................................................................................................................35讲高考1.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos22sinxtyt，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin03m．(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．【答案】(1)320xym(2)195,122【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.【详解】（1）因为l：sin03m，所以13sincos022m，又因为sin,cosyx，所以化简为13022yxm，整理得l的直角坐标方程：320xym（2）[方法一]：【最优解】参数方程联立l与C的方程，即将3cos2xt，2sinyt代入320xym中，可得23cos22sin203(12sin)2sin20ttmttm，化简为26sin2sin320ttm，要使l与C有公共点，则226sin2sin3mtt有解，令sinta，则1,1a，令2()623faaa，(11)a≤≤，对称轴为16a，开口向上，()(1)6235maxffa，min11219(())36666ffa，19256m，即m的取值范围为195,122.[方法二]：直角坐标方程由曲线C的参数方程为3cos22sinxtyt，t为参数，消去参数t，可得22323yx，联立23202323xymyx，得232460(22)yymy，即221194326333myyy，即有194103m，即195122m，m的取值范围是195,122．【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视y的范围限制而出错．2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）22:1,(1,1]4yCxx；:23110lxy；（2）7【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211txt得：210,(1,1]1xtxx，又2222161tyt222116141144111xxyxxxxx整理可得C的直角坐标方程为：221,(1,1]4yxx又cosx，sinyl的直角坐标方程为：23110xy（2）设C上点的坐标为：cos,2sin则C上的点到直线l的距离4sin112cos23sin11677d当sin16时，d取最小值则min7d【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知曲线221:149xyC，直线l：2,22,xtyt（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．【答案】（I）2cos,{3sin,xy260xy；（II）最大值为2255，最小值为255.【详解】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设cos,sin22xy，得椭圆的参数方程为2cos,{3sin,xy，消去参数t即得直线的普通方程为260xy；（II）关键是处理好PA与角30的关系．过点P作与l垂直的直线，垂足为H，则在PHA中，12PHdPA，故将PA的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cosP，3sin)到定直线260xy的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I）曲线C的参数方程为2cos,{3sin,xy（为参数）．直线l的普通方程为260xy．（II）曲线C上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为54cos3sin65d．则0255sin()6sin305dPA．其中为锐角，且4tan3．当sin()1时，PA取到最大值，最大值为2255．当sin()1时，PA取到最小值，最小值为255．题型全归纳【题型一】极坐标1：三线及三线段型【讲题型】例题1.在极坐标系下，曲线E的极坐标方程为：32cos(1)以极坐标系的极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，求E直角坐标方程，并说明E的轨迹是什么图形；(2)A，B，C为曲线E上不同的三点，O为极点，120AOBBOCCOA，证明：111||||||OAOBOC为定值．【答案】(1)22(1)143xy，轨迹为椭圆(2)证明见解析【分析】（1）根据极坐标方程直接转化为直角坐标系方程即可，随之可判断曲线的轨迹图形；（2）根据极坐标方程结合极径的几何意义即可证明结论.【详解】（1）解：2cos3，所以2223xyx，则2223xyx所以2236490xxy，整理得：22(1)143xy，轨迹为椭圆.（2）解：设1232π4π,,,,,33ABC，则123333,,2π4π2cos2cos2cos33所以：1232π4π2cos2cos2cos111111333OAOBOC13132cos2cossin2cossin22226233.即111||||||OAOBOC为定值2.例题2.在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为22344xy，曲线N的方程为xya.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为π4.(1)求曲线M，N的极坐标方程；(2)若0a，直线l与曲线M交于A，B两点，与曲线N的一个交点为点C，且11122OAOBOC，求a的值.【答案】(1)26cos8sin210，2sin22a(2)9a【分析】（1）根据曲线的直角坐标与极坐标转化公式，即可求解；（2）将π4代入曲线N的极坐标方程，得，将π4代入曲线M的极坐标方程，得到韦达定理，并表示111OAOBOC，即可求a.【详解】（1）由22344xy，得2268210xyxy，所以曲线M的极坐标方程为26cos8sin210.由xya，得2cossina，即2sin22a，此即曲线N的极坐标方程；（2）将π4代入2sin22a（0a），得2a.将π4代入26cos8sin210，得272210，设AB，对