专题10-2 不等式选讲题型归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（原卷版）

专题10-2不等式选讲题型归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................2【题型一】绝对值不等式恒成立求参..........................................................................................2【题型二】绝对值三角不等式应用..............................................................................................3【题型三】绝对值不等式给解集求参数......................................................................................4【题型四】绝对值不等式与均值不等式......................................................................................4【题型五】柯西不等式型证明.....................................................................................................5【题型六】柯西不等式求最值与参数..........................................................................................6【题型七】三元不等式证明........................................................................................................6【题型八】利用三元不等式求最值..............................................................................................7【题型九】分析法证明不等式.....................................................................................................8【题型十】综合法证明不等式.....................................................................................................8专题训练.....................................................................................................................................9讲高考1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：(1)19abc；(2)12abcbcacababc；2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：(1)23abc；(2)若2bc，则113ac．3．已知函数225,02,0xxfxxxx.（1）求1ff的值；（2）求13fa，求实数a的取值范围.4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数()2,()2321fxxgxxx．（1）画出yfx和ygx的图像；（2）若fxagx，求a的取值范围．5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．题型全归纳【题型一】绝对值不等式恒成立求参【讲题型】例题1.已知函数=|313|fxxxk,4gxx．（Ⅰ）当3k时,求不等式4fx的解集；（Ⅱ）设1k,且当1,33kx时，都有fxgx,求k的取值范围．例题2.已知函数3fxxa.（Ⅰ）当4a时，求不等式3fx的解集；（Ⅱ）设函数1gxx.当xR时，1fxgx恒成立，求实数a的取值范围.【讲技巧】-gxfx1fxgx-gxfxgxfxgx2fxgxfxgxfx-gx基础公式：（）（）、（）（）（）（）（）（取交集）（）（）、（）（）（）（）或（）（）（取并集）【练题型】1.已知函数22222fxxaxa．（1）当1a时，解不等式2fx；（2）若对于任意非零实数a以及任意实数x，不等式2fxbxa恒成立，求实数b的取值范围．2.已知函数222fxxx.（1）求不等式6fx的解集；（2）当xR时，fxxa恒成立，求实数a的取值范围.【题型二】绝对值三角不等式应用【讲题型】例题1.已知函数()|||3|fxxmx．(1)若1m，求()50fx的解集；(2)若2()6|||1|fxaxmx恒成立，求实数a的取值范围．例题2.．已知函数222fxxx.(1)求不等式4fx的解集；(2)若关于x的不等式22fxxa恒成立，求a的取值范围.【讲技巧】绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b【练题型】1.已知函数21fxaxax．(1)若1a，求5fx的解集；(2)若关于x的不等式2fxm有解，求实数m的取值范围．2.已知()|25fxxax∣．(1)当2a时，求()9fx的解集；(2)若()2fxx的解集包含[3,5]，求a的取值范围．【题型三】绝对值不等式给解集求参数【讲题型】例题1.已知函数()|3||1|fxxax.(1)当2a时，求不等式()5fx的解集；(2)若不等式()|7|fxax对[3,1]x恒成立，求实数a的范围.例题2.已知函数2fxxxaxaR.(1)当2a时，解不等式3fx；(2)若21fxx对任意的1,22x恒成立，求实数a的取值范围.【讲技巧】解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；形如xaxbc（或c）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a，(,]ab，(,)b（此处设ab）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1yxaxb和2yc的图象，结合图象求解．【练题型】1.()4fxxmx．(1)2m时，解不等式()4fx；(2)若区间[2,3]是不等式()1fxx的解集的子集，求m的取值范围．2.已知函数11fxxax.(1)若1a，求不等式0fx的解集；(2)若3,1x，使得不等式3fxax成立，求实数a的取值范围.【题型四】绝对值不等式与均值不等式【讲题型】例题1.已知函数()||2||(0,0)fxxaxbab.（1）当1ab时，解不等式()0fx；（2）若函数()()||gxfxxb的最大值为2，求14ab的最小值.例题2.已知函数()22fxxax.（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）当2a时，函数()fx的最小值为t，114tmn（0,0mn），求mn的最小值.【讲技巧】利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用2xyxy，求和的最小值；（2）和定，利用24xyxy，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.【练题型】1.关于x的不等式3axx的解集为1,b，其中1a．(1)求实数a，b的值；(2)若正数m，n满足2man，求2nm的最小值．2.已知函数()3fx=|x|+|x|．(1)求不等式5||()xfxx的解集；(2)设函数()fx的最小值为M，若正数a，b，c满足111233Mabc，证明239abc．【题型五】柯西不等式型证明【讲题型】例题1.设x、y、z为正实数，且4xyz.(1)证明：22xyxz；(2)证明：22241233xyz．例题2.已知正数a，b，c，d满足22221abcd，证明：(1)102acbd；(2)2222114436abcd.【讲技巧】柯西不等式，可以通过观察凑配法来准确构造：22222212121122()()()1nnnnaaabbbababab2观置（“平方”）（“平方”）“开方”次幂相同3位次幂减位半凑法位2置察配置位置1和2是等价齐次。否则就是需要凑配具体可以用下边推论来待定系数配凑2a)()()bcedfaebdcf（【练题型】1.已知,,abcR，且2221abc.（1）求2abc的最大值；（2）若21abc，证明：213c．2.已知a，b，c，m，n，p都是实数，且2221abc，2221mnp.(1)证明：1ambncp；(2)若0abc，证明：4442221mnpabc.【题型六】柯西不等式求最值与参数【讲题型】例题1.对aR，11aa的最小值为M.（1）若三个正数x、y、z满足xyzM，证明：2222xyzyzx；（2）若三个实数x、y、z满足xyzM，且2221(2)(1)()3xyzm恒成立，求m的取值范围.例题2.．（1）已知x，y为正实数．证明：2222xyxyxy．（2）对任意的正实数x，y，均有2xykxy成立，求k的取值范围．【练题型】1.柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.具体表述如下：对任意实数12,,,naaa和12,,,nbbb，（nN，2n），都222222212121122nnnnaaabbbabababLLL.（1）证明2n时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；（2）若对任意2,6x，不等式3226xxm恒成立，求实数m的取值范围.2.已知xyzR，，，且26xyz＝．（1）求222xyz的最小值；（2）若2221xyza成立，求a的取值范围．【题型七】三元不等式证明【讲题型】例题1.已知a，b，c都是正数，且abc1.证明：(1)127abc；(2)12abcbcacababc．例题2.已知正数,,abc满足1abc．(1)求证：27