专题2-3 导数压轴小题归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

专题2-3导数压轴小题归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................7【题型一】公切线求参................................................................................................................7【题型二】“过点”切线条数...................................................................................................10【题型三】切线法解题..............................................................................................................13【题型四】恒成立“同构型”求参............................................................................................16【题型五】恒成立“虚根”型求参............................................................................................19【题型六】恒成立“整数解”求参............................................................................................21【题型七】换元求参型..............................................................................................................25【题型八】选择主元求参型......................................................................................................27【题型九】多参放缩型..............................................................................................................30【题型十】多参韦达定理型......................................................................................................33【题型十一】构造函数求参......................................................................................................36【题型十二】极值点偏移型......................................................................................................40专题训练...................................................................................................................................44讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）当1x时，函数()lnbfxaxx取得最大值2，则(2)f（）A．1B．12C．12D．1【答案】B【分析】根据题意可知()12f=-，10f即可解得,ab，再根据fx即可解出．【详解】因为函数fx定义域为0,，所以依题可知，()12f=-，10f，而2abfxxx，所以2,0bab，即2,2ab，所以222fxxx，因此函数fx在0,1上递增，在1,上递减，1x时取最大值，满足题意，即有112122f．故选：B.2．（2021·全国·统考高考真题）若过点,ab可以作曲线exy的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0ebaD．0eab【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线xye的图象，根据直观即可判定点,ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线xye上任取一点,tPte，对函数xye求导得exy，所以，曲线xye在点P处的切线方程为ttyeext，即1ttyexte，由题意可知，点,ab在直线1ttyexte上，可得11tttbaeteate，令1tftate，则tftate.当ta时，0ft，此时函数ft单调递增，当ta时，0ft，此时函数ft单调递减，所以，maxaftfae，由题意可知，直线yb与曲线yft的图象有两个交点，则maxabfte，当1ta时，0ft，当1ta时，0ft，作出函数ft的图象如下图所示：由图可知，当0abe时，直线yb与曲线yft的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye的图象如图所示，根据直观即可判定点,ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.3．（2019·天津·高考真题）已知aR，设函数222,1,()ln,1,xaxaxfxxaxx„若关于x的不等式()0fx…在R上恒成立，则a的取值范围为A．0,1B．0,2C．0,eD．1,e【答案】C【解析】先判断0a时，2220xaxa在(,1]上恒成立；若ln0xax在(1,)上恒成立，转化为lnxax在(1,)上恒成立．【详解】∵(0)0f，即0a，（1）当01a时，2222()22()22(2)0fxxaxaxaaaaaaa，当1a时，(1)10f，故当0a时，2220xaxa在(,1]上恒成立；若ln0xax在(1,)上恒成立，即lnxax在(1,)上恒成立，令()lnxgxx，则2ln1'()(ln)xgxx，当,xe函数单增，当0,xe函数单减，故mingxgee，所以ae．当0a时，2220xaxa在(,1]上恒成立；综上可知，a的取值范围是[0,]e，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．4．（·四川·高考真题）设直线l1，l2分别是函数f(x)=ln,01,{ln,1,xxxx图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)【答案】A【详解】试题分析：设111222,ln,,lnPxxPxx（不妨设121,01xx），则由导数的几何意义易得切线12,ll的斜率分别为121211,.kkxx由已知得12122111,1,.kkxxxx切线1l的方程分别为1111lnyxxxx，切线2l的方程为2221lnyxxxx，即1111lnyxxxx．分别令0x得110,1ln,0,1ln.AxBx又1l与2l的交点为221111112222111121211,ln.1,1,0111211PABABPPABxxxxPxxSyyxSxxxx，故选A．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.5．（2021·全国·统考高考真题）设0a，若xa为函数2fxaxaxb的极大值点，则（）A．abB．abC．2abaD．2aba【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,ab所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若ab，则3fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab¹.fx有xa和xb两个不同零点，且在xa左右附近是不变号，在xb左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在xa左右附近都是小于零的.当a0时，由xb，0fx，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，a0，故2aba.当0a时，由xb时，0fx，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.综上所述，2aba成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.6．（2022·全国·统考高考真题）已知1xx和2xx分别是函数2()2exfxax（0a且1a）的极小值点和极大值点．若12xx，则a的取值范围是____________．【答案】1,1e【分析】法一：依题可知，方程2ln2e0xaax的两个根为12,xx，即函数lnxyaa与函数eyx的图象有两个不同的交点，构造函数lnxgxaa，利用指数函数的图象和图象变换得到gx的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为2ln2exfxaax，所以方程2ln2e0xaax的两个根为12,xx，即方程lnexaax的两个根为12,xx，即函数lnxyaa与函数eyx的图象有两个不同的交点，因为12,xx分别是函数22exfxax的极小值点和极大值点，所以函数fx在1,x和2,x上递减，在12,xx上递增，所以当时1,x2,x，0fx，即eyx图象在lnxyaa上方当12,xxx时，()0fx¢，即eyx图象在lnxyaa下方1a，图象显然不符合题意，所以01a．令lnxgxaa，则2ln,01xgxaaa，设过原点且与函数ygx的图象相切的直线的切点为00,lnxxaa，则切线的斜率为020lnxgxaa，故切线方程为0020lnlnxx