专题2-4 导数证明不等式归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

专题2-4导数证明不等式归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................5【题型一】..................................................................................................................................5【题型二】..................................................................................................................................7【题型三】..................................................................................................................................7【题型四】................................................................................................................................13【题型五】................................................................................................................................15【题型七】................................................................................................................................18【题型八】................................................................................................................................20【题型九】................................................................................................................................22【题型十】................................................................................................................................24【题型十一】............................................................................................................................26专题训练...................................................................................................................................34讲高考1.已知函数lnxfxxaxxe．(1)若0fx，求a的取值范围；(2)证明：若fx有两个零点12,xx，则121xx．2022年高考全国甲卷数学（理）真题【答案】(1)(,1]e(2)证明见的解析【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为1e11e2ln02xxxxxxx，再利用导数即可得证.【详解】（1）[方法一]：常规求导()fx的定义域为(0,)，则2111()1xfxexxx1111111xxxeexxxxx令0fx,得1x当(0,1),()0,()xfxfx单调递减当(1,),()0,()xfxfx单调递增()(1)1fxfea，若()0fx,则10ea,即1ae所以a的取值范围为(,1]e[方法二]：同构处理由0fx得：lnln0xxexxa令ln,1txxt，则0tfteta即taet令,1,tgtett，则'10tgte故tgtet在区间1,上是增函数故min11gtge，即1ae所以a的取值范围为(,1]e（2）[方法一]：构造函数由题知,fx一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设121xx要证121xx,即证121xx因为121,(0,1)xx,即证121fxfx又因为12fxfx,故只需证221fxfx即证11lnln0,(1,)xxexxxexxxx即证1112ln02xxexexxxx下面证明1x时，1110,ln02xxexexxxx设11(,)xxegxexxx，则11122111111()11xxxxxgxeexeeexxxxxx11111xxxxexeeexxxx设221111,0xxxexxxxeexxxx所以1xe,而1xee所以10xxeex,所以()0gx所以()gx在(1,)单调递增即()(1)0gxg,所以10xxexex令11()ln,12hxxxxx2222211121(1)()10222xxxhxxxxx所以()hx在(1,)单调递减即()(1)0hxh,所以11ln02xxx；综上,1112ln02xxexexxxx,所以121xx.[方法二]：对数平均不等式由题意得：lnxxeefxaxx令1xetx，则lnfttta，1'10ftt所以lngttta在1,上单调递增，故0gt只有1个解又因为lnxxeefxaxx有两个零点12,xx，故1212xxeetxx两边取对数得：1122lnlnxxxx，即12121lnlnxxxx又因为121212*lnlnxxxxxx，故121xx，即121xx下证121212*lnlnxxxxxx因为121211212121222112lnlnlnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxx不妨设121xtx，则只需证12lnttt构造12ln,1httttt，则22211'110htttt故12lnhtttt在1,上单调递减故10hth，即12lnttt得证【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式11()ln2hxxxx这个函数经常出现，需要掌握2.已知函数()eeaxxfxx．(1)当1a时，讨论()fx的单调性；(2)当0x时，()1fx，求a的取值范围；(3)设nN，证明：222111ln(1)1122nnn．2022年新高考全国II卷数学真题【答案】(1)fx的减区间为,0，增区间为0,.(2)12a(3)见解析【分析】（1）求出fx，讨论其符号后可得fx的单调性.（2）设ee1axxhxx，求出hx，先讨论12a时题设中的不等式不成立，再就102a结合放缩法讨论hx符号，最后就0a结合放缩法讨论hx的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12lnttt对任意的1t恒成立，从而可得21ln1lnnnnn对任意的*nN恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当1a时，1exfxx，则exfxx，当0x时，0fx，当0x时，()0fx¢，故fx的减区间为,0，增区间为0,.（2）设ee1axxhxx，则00h，又1eeaxxhxax，设1eeaxxgxax，则22eeaxxgxaax，若12a，则0210ga，因为gx为连续不间断函数，故存在00,x，使得00,xx，总有0gx，故gx在00,x为增函数，故00gxg，故hx在00,x为增函数，故01hxh，与题设矛盾.若102a，则ln11eeeeaxaxaxxxhxax，下证：对任意0x，总有ln1xx成立，证明：设ln1Sxxx，故11011xSxxx，故Sx在0,上为减函数，故00SxS即ln1xx成立.由上述不等式有ln12eeeeee0axaxxaxaxxaxx，故0hx总成立，即hx在0,上为减函数，所以00hxh.当0a时，有eee1100axxaxhxax，所以hx在0,上为减函数，所以00hxh.综上，12a.（3）取12a，则0x，总有12ee10xxx成立，令12ext，则21,e,2lnxttxt，故22ln1ttt即12lnttt对任意的1t恒成立.所以对任意的*nN，有112ln1nnnnnn，整理得到：21ln1lnnnnn，故222111ln2ln1ln3ln2ln1ln1122nnnnln1n，故不等式成立.3.已知函数()eln(1)xfxx．(1)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；(2)设()()gxfx，讨论函数()gx在[0,)上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)st，有()()()fstfsft．2022年新高考北京数学高考真题【答案】(1)yx(2)()gx在[0,)上单调递增.(3)证明见解析【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）