专题2-4 导数证明不等式归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（原卷版）

专题2-4导数证明不等式归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................2【题型一】不等式证明基础思维.................................................................................................2【题型二】极值点偏移1：零点型..............................................................................................2【题型三】极值点偏移2：水平线交点型....................................................................................3【题型四】极值点偏移3：极值型..............................................................................................3【题型五】极值点偏移4：多极值点型.......................................................................................4【题型七】零点偏移型................................................................................................................4【题型八】条件不等式（等式）型..............................................................................................5【题型十】数列不等式型............................................................................................................5【题型十一】水平线分割型（凸凹翻转型）...............................................................................5【题型十二】两根差的绝对值型.................................................................................................6【题型十三】两边夹放缩型........................................................................................................6【题型十四】三角函数型不等式.................................................................................................7专题训练.....................................................................................................................................7讲高考1.已知函数lnxfxxaxxe．(1)若0fx，求a的取值范围；(2)证明：若fx有两个零点12,xx，则121xx．2022年高考全国甲卷数学（理）真题2.已知函数()eeaxxfxx．(1)当1a时，讨论()fx的单调性；(2)当0x时，()1fx，求a的取值范围；(3)设nN，证明：222111ln(1)1122nnn．2022年新高考全国II卷数学真题3.已知函数()eln(1)xfxx．(1)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；(2)设()()gxfx，讨论函数()gx在[0,)上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)st，有()()()fstfsft．2022年新高考北京数学高考真题4.已知0a，函数1(),(0,)axfxxx．设120xa，记曲线()yfx在点11,Mxfx处的切线为l．(1)求l的方程；(2)设l与x轴交点为2,0x．证明：①210xa；②若11xa，则121xxa．2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课标）题型全归纳【题型一】不等式证明基础思维【讲题型】例题1.已知函数2()lnfxaxxb的图象在点(1,(1))f处的切线方程为22yx.（1）求()fx在(0,)ab内的单调区间.（2）设函数24()e2elnxxgxxxx，证明：()()1fxgx.【讲技巧】应用导数证明不等式基础思维：欲证f（x）g（x），移项为h（x）=f（x）-g（x），证明h（x）min0,求导求最值【练题型】1.已知函数()ln2afxxxx，()31xhxxex.（1）若函数()fx在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若函数()fx的图象在点12x处的切线平行于x轴，求证：hxfx.2.已知函数2ln11xexxxfkxx．（1）证明：xeex（2）若对任意0x都有0fx，求k的最大值．【题型二】极值点偏移1：零点型【讲题型】例题1.已知函数1()lnfxaxxx，()()gxaxaaR．（1）若0a，求函数()fx在1,(eee为自然对数的底数）上的零点个数；（2）若方程()()fxgx恰有一个实根，求a的取值集合；（3）若方程()()fxgx有两个不同的实根1x，212()xxx，求证：112231axxe．【讲技巧】零点型，注意数形结合思想的应用：1.零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。2.零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。3.将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理【练题型】已知函数ln()()axfxaRx．（1）求函数()fx的单调区间；（2）当函数()fx与函数()gxlnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；（3）证明：当1(0,)2a时，函数()()hxfxax有两个零点1x，2x，且满足12111xxa．【题型三】极值点偏移2：水平线交点型【讲题型】例题1..已知函数221(0),(ln)2xefxxxgxxxx.（1）求曲线yfx在1x处的切线方程；（2）若fmgn，证明：mn.【练题型】已知函数e()(0)xfxxxa在点(1,(1))f处的切线方程与x轴平行．（1）求函数()fx的极值；（2）若函数()()gxfxk有两个不同的零点1x，2x．①求k的取值范围；②证明：121xx．【题型四】极值点偏移3：极值型【讲题型】例题1.已知函数32232xxxfxxea．（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），证明：x1x3＜x22．【练题型】已知221,0()ln,0xxxfxxx，关于x的方程()fxm的不同实数解个数为k.（1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围；（2）若方程()fxm的三个不同的根从小到大依次为123,,xxx，求证：1323542xxxm.【题型五】极值点偏移4：多极值点型【讲题型】例题1.已知221,0()ln,0xxxfxxx，关于x的方程()fxm的不同实数解个数为k.（1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围；（2）若方程()fxm的三个不同的根从小到大依次为123,,xxx，求证：1323542xxxm.【讲技巧】一般情况下，第一步转化是消元，把三个根用一个变量t表示，第二步构造关于变量的新函数g（t），证明新函数g（t）的最小（大）值的正负，第三步由导数求得极小（大）值点t0的范围，并对0(t)g变形，最终转化为关于t的多项式不等式，问题易于解决．【练题型】．已知函数2()()lnxafxx（其中a为常数）．（1）当0a时，求函数()fx的单调减区间和极值点；（2）当0a时，设函数()fx的3个极值点为1x，2x，3x，且123xxx，①求a的取值范围；②证明：当01a时，132exx．【题型七】零点偏移型【讲题型】例题1.已知2123ln2fxxxx，321ln6gxxxax．（1）求fx在1,1f处的切线方程；（2）已知31()6Fxgxx的两个零点为1212,()xxxx，且0x为Fx的唯一极值点．①求实数a的取值范围；②求证：12034xxx．【练题型】设函数()lnexfxxa，()exgxax(10ea).（1）若()yfx在1x处的切线平行于直线2yx，求实数a的值；（2）设函数()()()hxfxgx，判断()yhx的零点的个数；（3）设1x是()hx的极值点，2x是()hx的一个零点，且12xx，求证：1232xx.【题型八】条件不等式（等式）型【讲题型】例题1.已知函数2()2ln1()fxxaxaR．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若1a，分别解答下面两题：（i）若不等式(1)(1)fxfxm对任意的01x恒成立，求m的取值范围；（ii）若1x，2x是两个不相等的正数，12()()0fxfx，求证：122xx．【练题型】已知函数2()eexxfxax，aR．（1）若()fx在0x处取得极值，求a的值；（2）设()()(3)exgxfxa，试讨论函数()gx的单调性；（3）当2a时，若存在实数1x，2x满足1212()()3ee0xxfxfx，求证：121ee2xx．【题型十】数列不等式型【讲题型】例题1.已知1ln1fxxx.（1）求函数fx的单调区间；（2）设函数221gxxfxx，若关于x的方程gxa有解，求实数a的最小值；（3）证明不等式：*111ln1123nnNn.【练题型】已知二次函数yfx图象经过坐标原点，其导函数为62fxx，数列na的前n项和为nS，点,nnSnN均在函数yfx的图象上；又11b，123nnca，且22112312222nnnnnbbbbbc，对任意nN都成立.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求数列nncb的前n项和nT；（3）求证：①ln10xxx；②222ln21,241niinnnNnin.【题型十一】水平线分割型（凸凹翻