专题4 向量综合归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

专题4向量综合归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................4【题型一】向量夹角...................................................................................................................5【题型二】线性运算1：基底型基础...........................................................................................7【题型三】线性运算2：双线交点型...........................................................................................9【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型..............................................................................13【题型五】向量基底“象限坐标轴”........................................................................................16【题型七】向量最值.................................................................................................................20【题型八】数量积.....................................................................................................................23【题型九】模及其应用..............................................................................................................26【题型十】投影.........................................................................................................................27【答案】-1................................................................................................................................28【题型十一】面积与奔驰定理...................................................................................................29专题训练...................................................................................................................................32讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab，则ab（）A．2B．1C．1D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44abaabb，又∵||1,||3,|2|3,abab∴91443134abab，∴1ab故选：C.2．（福建·高考真题）已知||1,||3,0OAOBOAOB，点C在AOB内，且30AOC.设()OCmOAnOBmnR、，则mn等于（）A．13B．3C．33D．3【答案】B【分析】由题意可得OAOB,建立坐标系，由已知条件可得(,3)OCmn，进而可得33tan303nm，即可得答案.【详解】解：因为||1,||3,0OAOBOAOB，所以OAOB,又因为点C在AOB内，且30AOC，建立如图所示的坐标系：则(1,0)OA,(0,3)OB,又因为()OCmOAnOBmnR、，所以(,3)OCmn，所以33tan303nm，所以3mn.故选：B.3．（山东·高考真题）在直角ABC中CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．2ACACABB．2CBBABCC．2ABACCDD．22ACABBABCCDAB【答案】C【分析】根据向量模、数量积的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，2cosACABACABAACACAC，A选项正确.B选项，22cosBABCBCBABBCBCBCCB，B选项正确.C选项，ACCDABBCCDABCDBCCD22cosCDBCBCDCDAB，C选项错误.D选项，根据三角形的面积公式可知：222211,22ABCDACCBABCDACCB,结合AB选项的分析可知：22222ACABBABCACCBCDABAB，D选项正确.故选：C4．（2022·全国·统考高考真题）在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAmCDn，，则CB（）A．32mnB．23mnC．32mnD．23mn【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，2BDDA，所以2BDDA，即2CDCBCACD，所以CB3232CDCAnm23mn．故选：B．5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点(,0)Mp，若||||AFAM，则（）A．直线AB的斜率为26B．||||OBOFC．||4||ABOFD．180OAMOBM【答案】ACD【分析】由AFAM及抛物线方程求得36(,)42ppA，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得6(,)33ppB，即可求出OB判断B选项；由抛物线的定义求出2512pAB即可判断C选项；由0OAOB，0MAMB求得AOB，AMB为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得(,0)2pF，由AFAM可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为3224ppp，代入抛物线可得2233242pypp，则36(,)42ppA，则直线AB的斜率为6226342ppp，A正确；对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为1226pxy，联立抛物线方程得22106ypyp，设11(,)Bxy，则16626pyp，则163py，代入抛物线得21623ppx，解得13px，则6(,)33ppB，则22673332ppppOBOF，B错误；对于C，由抛物线定义知：325244312pppABppOF，C正确；对于D，23663663(,)(,)0423343234pppppppppOAOB，则AOB为钝角，又26262665(,)(,)0423343236pppppppppMAMB，则AMB为钝角，又360AOBAMBOAMOBM，则180OAMOBM，D正确.故选：ACD.6．（全国·高考真题）向量ab、满足()(2)4abab，且||2,||4ab，则a与b夹角的余弦值等于___________．【答案】12##0.5【分析】利用向量数量积公式得到22()(2)28168cos4abababab，解出即可.【详解】22()(2)2abababab222||||||||cosabab2222424cos8168cos4解得1cos2.故答案为：12.7．（2022·全国·统考高考真题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3br，则2abb_________．【答案】11【分析】设a与b的夹角为，依题意可得1cos3，再根据数量积的定义求出ab，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即1cos3，又1a，3br，所以1cos1313abab，所以22222221311abbabbabb．故答案为：11．题型全归纳【题型一】向量夹角【讲题型】例题1.已知平面向量a、b、c满足221cacb，则4ab与2cb所成夹角的最大值是（）A．6B．3C．23D．56【答案】A【分析】设2ac与2cb夹角为，4ab与2cb所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出cos0，并可得出222cos354cos9cos54cos8161654cos，利用基本不等式可求得cos的最小值，可得出的取值范围，即可得解.【详解】设2ac与2cb夹角为，4ab与2cb所成夹角为，4222abaccb，所以，2224242422cos54cosabaccbaccb，①24222222222abcbaccbcbaccbcb2cos0，②又4242cos4cos0cos0abcbabcbab，③②与③联立可得2224cos2cos4cos2cosabab，④①④联立可得22222coscos116cos259354cos9cos1154cos54cos1654cos8161654cos354cos9328161654cos4，当且仅当1cos2时，取等号，233coscos42，0,，则0,6，故4ab与2cb所成夹角的最大值是6，故选：A.例题2.已知单位向量a，b，c满足322abc，则b与2ac夹角的余弦值为（）A．33B．32C．22D．23【答案】A【分析】根据a，b，c为单位向量，变形后平方可得：13ab，223bc，0ac，利用夹角公式求出b与2ac夹角的余弦值.【详解】a，b，c为单位向量.对322abc两边平方，即2226