专题5-2线性规划综合应用目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................4【题型一】转化型.....................................................................................................................4【题型二】向量转化...................................................................................................................6【题型三】求参...........................................................................................................................9【题型四】含参讨论画图..........................................................................................................12【题型五】绝对值和换元型......................................................................................................14【题型六】函数和导数型..........................................................................................................17【题型七】条件画图.................................................................................................................19【题型八】线性规划综合应用...................................................................................................20专题训练...................................................................................................................................23讲高考1.(2022·全国·统考高考真题)若x,y满足约束条件2,24,0,xyxyy则2zxy的最大值是()A.2B.4C.8D.12【答案】C【分析】作出可行域,数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域,如图阴影部分所示,转化目标函数2zxy为2yxz,上下平移直线2yxz,可得当直线过点4,0时,直线截距最小,z最大,所以max2408z.故选:C.2.(2021·浙江·统考高考真题)若实数x,y满足约束条件1002310xxyxy,则12zxy的最小值是()A.2B.32C.12D.110【答案】B【分析】画出满足条件的可行域,目标函数化为22yxz,求出过可行域点,且斜率为2的直线在y轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1002310xxyxy的可行域,如下图所示:目标函数12zxy化为22yxz,由12310xxy,解得11xy,设(1,1)A,当直线22yxz过A点时,12zxy取得最小值为32.故选:B.3.(2021·全国·统考高考真题)若,xy满足约束条件4,2,3,xyxyy则3zxy的最小值为()A.18B.10C.6D.4【答案】C【分析】由题意作出可行域,变换目标函数为3yxz,数形结合即可得解.【详解】由题意,作出可行域,如图阴影部分所示,由43xyy可得点1,3A,转换目标函数3zxy为3yxz,上下平移直线3yxz,数形结合可得当直线过点A时,z取最小值,此时min3136z.故选:C.4.(江苏·高考真题)已知实数,xy满足240{220330xyxyxy,,,则22xy的取值范围是.【答案】4[,13]5【详解】画出不等式组表示的平面区域,由图可知原点到直线220xy距离的平方为22xy的最小值,为224||55,原点到直线24=0xy与33=0xy的交点(2,3)距离的平方为22xy的最大值为13,因此22xy的取值范围为4[,13].5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线(一般不涉及虚线),其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等,最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.5.(湖南·高考真题)设集合1{(,)||2|}2Axyyx,{(,)|||}Bxyyxb,AB.(1)b的取值范围是________;(2)若(,)xyAB,且2xy的最大值为9,则b的值是________.【答案】1b92【分析】(1)分别作出集合A,B表示的平面区域,由图求出b的范围;(2)由线性规划,在可行域内,当直线过(0,)b时,z最大,所以029b,即得解.【详解】(1)如图①所示,因为AB,所以1b,所以b的取值范围是1b;(2)若(,)xyAB,令2zyx,作直线122zyx,由图②知当直线过(0,)b时,z最大,所以029b,所以92b.故答案为:1b;92.题型全归纳【题型一】转化型【讲题型】例题1.已知实数x,y满足40300xyyxy,则1xyzx的最大值为()A.2B.32C.43D.3【答案】A【分析】画出不等式组所表示的平面区域,利用直线的斜率公式模型进行求解即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示:1111xyyzxx,代数式11yx表示不等式组所表示的平面区域内的点与点(1,1)A连线的斜率,由图象可知:直线BA的斜率最大,由301403yxxyy,即()1,3B,即11yx的最大值为:31111,因此1xyzx的最大值为2,故选:A例题2.已知实数x,y满足3302390210xyxyxy,则122xyzxx的取值范围是()A.,01,3B.0,11,3C.,03,D.0,13,【答案】C【分析】画出可行域,根据斜率型表达式的取值范围的求法求得正确答案.【详解】11211112222yxyxyyzxxxx,表示,xy与2,1连线的斜率加1.画出可行域如下图所示,由图可知,11,BCACzkk.11102,13221ACBCkk,所以,03,z.故选:C【讲技巧】1.分式型,如果是斜率型,要注意分离常数,还要注意x,y的系数要提出来。2.齐次分式型,可以同除换元,但是要注意同除时,是否要讨论为0的情况。3.复杂分式型,实质是划归后(主要是同除或者分离常数),可换元转为基础型【练题型】1.设实数x,y满足2025020xyxyy,则2xyuxy的取值范围是()A.32,169B.31,164C.21,94D.31,102【答案】B【分析】根据题意,画出可行域,结合斜率的坐标公式,以及对勾函数的图形性质,即可求解.【详解】根据题意,由线性约束条件画出可行域,如图中的阴影部分.由图可知,OBOAykkx,即123yx,令123ytx,结合对勾函数图像性质,可知11023tt,因为211122xyuxyxytyxt,所以31164u.故选:B.2.、若实数,xy满足不等式111xyxy,则221yzx的取值范围是______________;【答案】02z;01()2yzx,故所求z为定点1(,0)2Q与平面区域内动点(,)Pxy连线PQ的斜率,作图可知当(1,0)P时斜率最小为0,当(0,1)P时,斜率最大为2【题型二】向量转化【讲题型】例题1.在直角梯形ABCD中,已知ABCD∥,112ADCDAB.点P是梯形内一点(含边界),且满足3,1,,R2PAPABAD+,则P点可能出现的区域的面积是()A.33B.22C.12D.1【答案】C【分析】建立平面直角坐标系,设,Pxy,由APABADuuuruuuruuur得2,xy,结合312+得3122xy,即可求得P点可能出现的区域,再求面积即可.【详解】以A为原点,ABAD所在直线为,xy轴建立如图所示平面直角坐标系,则0,0,2,0,0,1ABD,设,Pxy,则,2,00,12,xy,则2,xy,又312+,则3122xy,在坐标系中画出12xy和322xy,又点P是梯形内一点(含边界),则P点可能出现的区域是如图所示阴影部分,故P点可能出现的区域的面积是111122.故选:C.例题2.已知点,Pxy满足不等式组20,20,220,xyxyxy,点2,1A,O为坐标原点,则OPOA的取值范围是()A.88,33B.8,43C.8,43D.8,3【答案】B【分析】画出不等式组表示的平面区域,因为2OPOAxy,设2zxy,则2yxz,利用z的几何意义求出OPOA的取值范围.【详解】解:,Pxy,2,1A,所以2OPOAxy,设2zxy,则2yxz,不等式组20,20,220,xyxyxy表示的平面区域如图所示,当直线2yxz过(2,0)C时,2zxy取得最大值,max4z;当直线2yxz过24(,)33E时,2zxy取得最小值,min83z;则OPOA的取值范围是8,43.故选:B.【讲技巧】向量型1.把向量转化为截距型等各类常规型求解2.借助向量几何意义进行转化。【练题型】1.已知点A的坐标(,)xy满足线性约束条件103xxyxy,(0,0)O,(2,4)B,则OAOB的最大值为()A.10B.9C.8D.6【答案】A【分析】作出可行域,由数量积的坐标运算转化为