专题7-2 立体几何压轴小题：角度与动点、体积（讲+练）（原卷版）

专题7-2立体几何压轴小题：角度与动点、体积目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................3【题型一】角度1：线线角.........................................................................................................3【题型二】角度2：线面角.........................................................................................................4【题型三】角度3：二面角.........................................................................................................5【题型四】角度综合...................................................................................................................6【题型五】体积1：体积比.........................................................................................................7【题型六】体积2：不规则.........................................................................................................8【题型七】体积3：最值型.........................................................................................................9【题型八】体积4：翻折“包装”型.........................................................................................10【题型九】体积5：祖暅定理型................................................................................................11【题型十】立体几何中的轨迹...................................................................................................12专题训练...................................................................................................................................13讲高考1．（福建·高考真题）如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点，2,4,60ABBCABC，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）A．3arcsin6B．3arccos6C．3arcsin3D．3arccos32．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．51043．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．33D．224．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]5．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．276．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABCABCACAA，E，F分别是棱11,BCAC上的点．记EF与1AA所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBCA的平面角为，则（）A．B．C．D．7．（2022·全国·统考高考真题）在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则（）A．2ABADB．AB与平面11ABCD所成的角为30C．1ACCBD．1BD与平面11BBCC所成的角为458．（2019·浙江·高考真题）设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平面角为，则A．,B．,C．,D．,9．（2017·全国·高考真题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．题型全归纳【题型一】角度1：线线角【讲题型】例题1.．已知正三棱锥ABCD的底面是边长为6的正三角形，其外接球球O的表面积为64π，且点A到平面BCD的距离小于球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为（）A．2288B．2244C．1920D．1940例题2如图，已知正三棱锥ABCD，3BCCDBD，2ABACAD，点P，Q分别棱BC，CD上（不包含端点），则直线AP，BQ所成的角的取值范围是______.【讲技巧】：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．【练题型】1..空间四面体ABCD中，2ABCD，23ADBC.4AC，直线BD与AC所成的角为45°，则该四面体的体积为___2.已知三棱锥ABCD满足：2ABBCCDDABD，二面角ABDC为2π3，且M为棱AC上一点，3ACAM，O为三棱锥ABCD外接球的球心，则直线MO与直线AC夹角的正弦值是（）A．12B．22C．32D．1【题型二】角度2：线面角【讲题型】例题1..如图，在直三棱柱111ABCABC-中，已知ABC是边长为1的等边三角形，12AA，E，F分别在侧面11AABB和侧面11AACC内运动（含边界），且满足直线1AA与平面AEF所成的角为30°，点1A在平面AEF上的射影H在AEF△内（含边界）．令直线BH与平面ABC所成的角为，则tan的最大值为（）A．323B．33C．3D．323例题2..如图，在三棱锥DABC中，ABBCCDDA，90,,,ABCEFO分别为棱,,BCDAAC的中点，记直线EF与平面BOD所成角为，则的取值范围是（）A．0,4B．,43C．,42D．,62【讲技巧】计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl（l为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sincos,an.【练题型】1..如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为45°，顶点B在平面α内的射影为O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于()A．63212B．2215C．624D．522122..如图，在三棱锥ABCD中，45ABC，点P在平面BCD内，过P作PQAB于Q，当PQ与面BCD所成最大角的正弦值是104时，PQ与平面ABC所成角的余弦值是（）A．105B．64C．155D．106【题型三】角度3：二面角【讲题型】例题1.已知在正方体1111ABCDABCD中，点E为棱BC的中点，直线l在平面1111DCBA内．若二面角AlE的平面角为，则cos的最小值为（）A．34B．1121C．33D．35例题2..已知正方体ABCDABCD的棱长为3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CCDD上运动，当平面BEP与平面ABCD和平面CCDD所成的角相等时，则DP的最小值为（）A．3105B．31010C．91010D．71010【讲技巧】计算二面角，常用方法1.向量法：二面角l的大小为(0),cos.uvuvrrrr2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角【练题型】1.已知点P是正方体ABCDABCD上底面ABCD上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（）A．APCBPDB．APCBPDC．max,max,APDBPCAPBCPDD．min,min,APDBPCAPBCPD2.．三棱锥PABC中，ABBC，△PAC为等边三角形，二面角PACB的余弦值为63，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8.则三棱锥体积的最大值为（）A．1B．2C．12D．13【题型四】角度综合【讲题型】例题1..如图，斜三棱柱111ABCABC-中，底面ABC是正三角形，,,EFG分别是侧棱111,,AABBCC上的点，且AECGBF，设直线,CACB与平面EFG所成的角分别为,，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为，则（）A．sinsinsin,coscoscosB．sinsinsin,cos