专题8-3 圆锥曲线小题综合 （讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

专题8-3圆锥曲线小题综合目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................6【题型一】圆锥曲线定义型........................................................................................................6【题型二】焦点弦与焦半径型.....................................................................................................8【题型三】定比分点.................................................................................................................11【题型四】离心率综合..............................................................................................................13【题型五】双曲线渐近线型......................................................................................................15【题型六】抛物线中的设点计算型............................................................................................18【题型七】切线型.....................................................................................................................20【题型八】切点弦型.................................................................................................................22【题型九】曲线轨迹型..............................................................................................................25专题训练...................................................................................................................................28讲高考1．（2017·全国·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足52ba，且与椭圆221123xy有公共焦点，则双曲线C的方程为（）A．22145xyB．221810xyC．22154xyD．22143xy【答案】A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,ab的值，即可求解.【详解】由椭圆的标准方程为221123xy，可得21239c，即3c，因为双曲线C的焦点与椭圆221123xy的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距3c，又因为双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足52ba，即52ba，又由222abc，即22529aa，解得24a，可得25b，所以双曲线C的方程为22145xy.故选：A．2．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线21245,,yxFF分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F，与双曲线的渐近线交于点A，若124FFA，则双曲线的标准方程为（）A．22110xyB．22116yxC．2214yxD．2214xy【答案】C【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得112AFFF，由此可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245yx的准线方程为5x，则5c，则15,0F、25,0F，不妨设点A为第二象限内的点，联立byxaxc，可得xcbcya，即点,bcAca，因为112AFFF且124FFA，则12FFA△为等腰直角三角形，且112AFFF，即2bcca，可得2ba，所以，22225baccab，解得125abc，因此，双曲线的标准方程为2214yx.故选：C.3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，12,AA分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA，则C的方程为（）A．2211816xyB．22198xy+=C．22132xyD．2212xy【答案】B【分析】根据离心率及12=1BABA，解得关于22,ab的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113cbeaa，解得2289ba，2289ba，12,AA分别为C的左右顶点，则12,0,,0AaAa，B为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)BAabBAab，因为121BABA所以221ab，将2289ba代入，解得229,8ab，故椭圆的方程为22198xy+=.故选：B.4．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．32B．22C．12D．13【答案】A【分析】设11,Pxy，则11,Qxy，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa，再根据2211221xyab，将1y用1x表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设11,Pxy，则11,Qxy则由14APAQkk得：21112211114APAQyyykkxaxaxa，由2211221xyab，得2221212baxya，所以2221222114baxaxa，即2214ba，所以椭圆C的离心率22312cbeaa，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：PBAQkk故14APAQPAAQkkkk，由椭圆第三定义得：22PAAQbkka，故2214ba所以椭圆C的离心率22312cbeaa，故选A.5．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若AFBF，则AB（）A．2B．22C．3D．32【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，1,0F，则2AFBF，即点A到准线=1x的距离为2，所以点A的横坐标为121，不妨设点A在x轴上方，代入得，1,2A，所以22310222AB.故选：B6．（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合．设集合5TQSPQ，则T表示的区域的面积为（）A．34B．C．2D．3【答案】B【分析】求出以P为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形ABC的中心，且2362332BO，故361226PO.因为5PQ，故1OQ，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC内切圆的圆心为O，半径为323643136，故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为故选：B7．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221||xyxy就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221xyxy得,221yxyx,2222||3341,10,2443xxxyx厔,所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1Cxyxy恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221xyxy得,222212xyxy„,解得222xy,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.结论②正确.如图所示,易知0,1,1,0,1,1,,0,1ABCD,四边形ABCD的面积13111122ABCDS,很明显“心形”区域的面积大于2ABCDS,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.8．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C：2213xy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A．32B．3C．23D．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN的倾斜角为60或120，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22MN，利用两点间距离公式求得MN的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33，且右焦点为(2,0)F，从而得到30FON，所以直线MN的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，可以得出直线MN的方程为3(2)yx，分别与两条渐近线33yx和33yx联立，求得33(3,3),(,)22MN，所以2233(3)(3)322MN，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用