专题02 基本初等函数及其性质(文理)-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

专题02基本初等函数及其性质一、单选题1．（2022·浙江·高考真题）已知825,log3ab，则34ab（）A．25B．5C．259D．53【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a，821log3log33b，即323b，所以22323232452544392aaabbb．故选：C.2．（2020•北京卷）已知函数()21xfxx，则不等式()0fx的解集是（）．A.(1,1)B.(,1)(1,)C.(0,1)D.(,0)(1,)【答案】D【解析】作出函数2xy和1yx的图象，观察图象可得结果.【详解】因为21xfxx，所以0fx等价于21xx，在同一直角坐标系中作出2xy和1yx的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21xx的解为0x或1x.所以不等式0fx的解集为：,01,.故选：D.3．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]的大致图像，则该函数是（）A．3231xxyxB．321xxyxC．22cos1xxyxD．22sin1xyx【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设321xxfxx，则10f，故排除B;设22cos1xxhxx，当π0,2x时，0cos1x，所以222cos2111xxxhxxx，故排除C;设22sin1xgxx，则2sin33010g，故排除D.故选：A.4．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xfx，则对任意实数x，有（）A．()()0fxfx-+=B．()()0fxfxC．()()1fxfxD．1()()3fxfx【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】1121112121212xxxxxfxfx，故A错误，C正确；11212121121212122121xxxxxxxxfxfx，不是常数，故BD错误；故选：C．5．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89mmmab，则（）A．0abB．0abC．0baD．0ba【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log101m，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m，8log9m，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m可得9lg10log101lg9m，而222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022，所以lg10lg11lg9lg10，即lg11m，所以lg11101110110ma．又222lg8lg10lg80lg8lg10lg922，所以lg9lg10lg8lg9，即8log9m，所以8log989890mb．综上，0ab．故选：A.6．（2022·全国·高考真题）已知函数()fx的定义域为R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf，则221()kfk（）A．3B．2C．0D．1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的1,2,,6fff的值，即可解出．【详解】因为fxyfxyfxfy，令1,0xy可得，2110fff，所以02f，令0x可得，2fyfyfy，即fyfy，所以函数fx为偶函数，令1y得，111fxfxfxffx，即有21fxfxfx，从而可知21fxfx，14fxfx，故24fxfx，即6fxfx，所以函数fx的一个周期为6．因为210121fff，321112fff，4221fff，5111fff，602ff，所以一个周期内的1260fff．由于22除以6余4，所以221123411213kfkffff．故选：A．7．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A．abcB．cbaC．cabD．acb【答案】C【分析】构造函数()ln(1)fxxx，导数判断其单调性，由此确定,,abc的大小.【详解】设()ln(1)(1)fxxxx，因为1()111xfxxx，当(1,0)x时，()0fx，当,()0x时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx，则21e11()+1e11xxxgxxxx,令2()e(1)+1xhxx，2()e(21)xhxxx，当021x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递减，当211x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递增，又(0)0h，所以当021x时，()0hx，所以当021x时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.8．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数2212,13,xaxxafxaxxa，若fx恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．,21,00,B．,21,00,C．1,D．1,00,【答案】B【分析】函数2212yxax，130yaxa均有有两个零点，分类讨论每部分的零点个数，结合零点分布处理．【详解】∵21160a，则二次函数2212yxax有两个零点若2212,fxxaxxa恰有两个零点，则21420aafaaa，得2a此时134,fxaxaxxa无零点，则240a，解得2a则2a若2212,fxxaxxa无零点，则21420aafaaa，得1a此时13,fxaxxa有两个零点，则21130aafaa，得2a则2a若2212,fxxaxxa有且仅有一个零点，则220faaa得1a2，或220faaa，得1a或2a，经检验2a不合题意则12a此时13,fxaxxa有且仅有一个零点，则20130afaa，解得22a且0a则12a且0a综上所述：,21,00,a故选：B．9．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知函数2(4log1)fxax，若1fx是奇函数(R)a，则a（）A．1B．2C．1D．2【答案】A【分析】由1fx是奇函数，可以得到关于a的方程组，解之即可得到a的值.【详解】由1fx是奇函数,知(1)(1)fxfx，即2244loglog22aaxx，由x的任意性，得2222242424224aaxxxaaxxaax，得22(2)11aa，解得1a．经检验符合题意.故选：A10．（2022·上海浦东新·二模）已知fxx，2gxxax，aR，实数12xx、满足12xx，设1212fxfxpxx，1212gxgxqxx，现有如下两个结论：①对于任意的实数a，存在实数12xx、，使得pq；②存在实数0a，对于任意的121xxa、，，都有pq；则（）A．①②均正确B．①②均不正确C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确【答案】C【分析】对①，根据1212fxfxpxx，1212gxgxqxx的几何意义，判断得出fxx与2gxxax一定有两个交点分析即可对②，通过化简pq，将题意转换为：存在实数0a，使得2hxxaxx在1a，上为减函数，再分析出当0x时函数有增区间，推出矛盾即可【详解】对①，1212fxfxpxx的几何意义为11,xfx与22,xfx两点间的斜率，同理1212gxgxqxx的几何意义为11,xgx与22,xgx两点间的斜率.数形结合可得，当0a时，存在120xx；当0a时，存在120xx，使得1122,fxgxfxgx，即pq成立.即对于任意的实数a，存在实数12xx、，使得pq，故①正确；对②，若存在实数0a，对于任意的121xxa、，，都有pq，即12121212fxfxgxgxxxxx，即1212fxfxgxgx，即2211gxfxgxfx.即存在实数0a，对于任意的121xxa、，，2211gxfxgxfx恒成立.设hxgxfx，则21hxhx，即2hxgxfxxaxx为减函数.故原题意可转化为：存在实数0a，使得2hxxaxx在1a，上为减函数.因为当0x时，21hxxax，因为hx对称轴为12ax，故当1,12axa时hx一定为增函数，故不存在实数0a，使得2hxxaxx在1a，上为减函数.故②错误故选：C二、填空题11．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数:fx_______．①1212fxxfxfx；②当(0,)x时，()0fx；③()fx是奇函数．【答案】4fxx（答案不唯一，2*nxNfnx均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的fx.【详解】取4fxx，则44421121122xfxfxxxxfxx，满足①，34fxx，0x时有0fx，满足②，34fxx的定义域为R，又34fxxfx，故fx是奇函数，满足③.故答案为：4fxx（答案不唯一，2*nxNfnx均满足）12．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg2fxxkx，给出下列四个结论：①若0k，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；③存在负数k，使得()fx恰有3个零点；④存在正数