专题03 函数与导数（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

专题03函数与导数一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx的导函数为fx，且满足21lnfxxfx，则'1f（）A．eB．1C．1D．e【答案】B【分析】求得函数的导数121fxfx，令1x，即可求解.【详解】由题意，函数21lnfxxfx，可得121fxfx，所以1211ff，则11f．故选：B.2．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin4fxxgxx，则图象为如图的函数可能是（）A．1()()4yfxgxB．1()()4yfxgxC．()()yfxgxD．()()gxyfx【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，21sin4yfxgxxx，则212sincos4yxxxx，当4x时，22120221642y，与图象不符，排除C.故选：D.3．（2022·全国·高考真题（理））当1x时，函数()lnbfxaxx取得最大值2，则(2)f（）A．1B．12C．12D．1【答案】B【分析】根据题意可知()12f=-，10f即可解得,ab，再根据fx即可解出．【详解】因为函数fx定义域为0,，所以依题可知，()12f=-，10f，而2abfxxx，所以2,0bab，即2,2ab，所以222fxxx，因此函数fx在0,1上递增，在1,上递减，1x时取最大值，满足题意，即有112122f．故选：B.4．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知点P是曲线23lnyxx上任意的一点，则点P到直线2230xy的距离的最小值是（）A．74B．78C．322D．724【答案】D【分析】由题意可知，过点P的切线与直线2230xy平行，由此可求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可【详解】令321,0yxxx，则1x，即(1,1)P，所以22377244422d，故选：D．5．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数2()3(ln)fxxax，若21,ex时，()fx在1x处取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．26,eB．(,0]C．260,eD．266,ee【答案】B【分析】根据题意()(1)fxf当21,ex时恒成立，整理得213(ln)axx，当21,ex时，1yax在23(ln)gxx图像的下方，结合图像分析处理．【详解】根据题意得()(1)fxf当21,ex时恒成立则23(ln)xaxa，即213(ln)axx∴当21,ex时，1yax在23(ln)gxx图像的下方6lnxgxx，则10g，则0a故选：B．6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知函数2()2cosfxxx，设0.22af，0.20.2bf，0.2log2cf，则（）A．acbB．abcC．cbaD．cab【答案】B【分析】确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将0.2log2cf化为0.2log0.5f，比较0.20.20.22,0.2,log0.5的大小关系即可得答案.【详解】函数2()2cosfxxx的定义域为R，2()()2cos()()fxxxfx，故2()2cosfxxx为偶函数，当0x时，()22sinfxxx，令()22singxxx，则()22cos0gxx，即()22sin,[0,)gxxxx单调递增，故()(0)0gxg，所以()0fx，则2()2cosfxxx在[0,)x时单调递增，由于0.20.20.20.50.5log2loglogcfff因为0.20.20.221,00.21,0log0.51，而0.2551110.25322，0.21155111log0.5loglog225，即0.20.20.220.2log0.50，则abc，故选：B7．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）设函数fx在R上存在导数fx，对于任意的实数x，有22fxfxx，当,0x时，42fxx，若2422fmfmmm，则实数m的取值范围是（）A．1,2B．,12,C．2,2D．,12,【答案】D【分析】构造函数24gxfxxx，得到gx为奇函数，gx在R上单调递减，分20m和20m两种情况，利用奇偶性和单调性解不等式，求出实数m的取值范围.【详解】∵42fxx，∴420fxx．令24gxfxxx，且24gxfxx，则gx在,0上单调递减．又∵22fxfxx，∴2244gxgxfxxxfxxx220fxfxx，∴gx为奇函数，gx在R上单调递减．∵2422fmfmmm，∴2242402fmfmmmm．当20m，即2m时，224240fmfmmm，即2222424fmmmfmmm即2gmgm，由于gx在R上递减，则2mm，解得：1m，∴1m．当20m，即2m时，224240fmfmmm，即2gmgm．由gx在R上递减，则2mm，解得：1m，所以2m．综上所述，实数m的取值范围是,12,．故选：D．【点睛】构造函数，研究出构造的函数的奇偶性和单调性，进而解不等式，是经常考查的一类题目，结合题干信息，构造出函数是关键.8．（2022·河南开封·模拟预测（理））若关于x的不等式lnln0exxaaxx对0,1x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．1,eB．1e,C．1,1eD．10,e【答案】B【分析】由题设有lnelnexxaxax，构造ln()xfxx，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为exax在()0,1上恒成立，再构造()exxgx结合导数求参数范围.【详解】由题设可得lnelnexxaxax，令ln()xfxx，则(e)()xfafx在()0,1上恒成立，由21ln()xfxx，在0,e上()0fx；在e,上()0fx；所以()fx在0,e上递增；在e,上递减，且(1)0f，在()0,1上()0fx，(1,)上()0fx，而0a，所以，只需exax在()0,1上恒成立，即exxa恒成立，令()exxgx，则1()0exxgx，即()gx在()0,1上递增，故1(1)eag.故a的取值范围为1e,.故选：B【点睛】关键点点睛：不等式化为lnelnexxaxax，构造ln()xfxx研究单调性，进一步将问题转化为研究exax在()0,1上恒成立.二、填空题9．（2022·全国·高考真题（理））已知1xx和2xx分别是函数2()2exfxax（0a且1a）的极小值点和极大值点．若12xx，则a的取值范围是____________．【答案】1,1e【分析】由12,xx分别是函数22exfxax的极小值点和极大值点，可得12,,xxx时，0fx，12,xxx时，0fx，再分1a和01a两种情况讨论，方程2ln2e0xaax的两个根为12,xx，即函数lnxyaa与函数eyx的图象有两个不同的交点，构造函数lnxgxaa，利用指数函数的图象和图象变换得到gx的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】解：2ln2exfxaax，因为12,xx分别是函数22exfxax的极小值点和极大值点，所以函数fx在1,x和2,x上递减，在12,xx上递增，所以当12,,xxx时，0fx，当12,xxx时，0fx，若1a时，当0x时，2ln0,2e0xaax，则此时0fx，与前面矛盾，故1a不符合题意，若01a时，则方程2ln2e0xaax的两个根为12,xx，即方程lnexaax的两个根为12,xx，即函数lnxyaa与函数eyx的图象有两个不同的交点，∵01a,∴函数xya的图象是单调递减的指数函数，又∵ln0a,∴lnxyaa的图象由指数函数xya向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的lna倍得到，如图所示：设过原点且与函数ygx的图象相切的直线的切点为00,lnxxaa，则切线的斜率为020lnxgxaa，故切线方程为0020lnlnxxyaaaaxx，则有0020lnlnxxaaxaa，解得01lnxa，则切线的斜率为122lnlnelnaaaa，因为函数lnxyaa与函数eyx的图象有两个不同的交点，所以2elnea，解得1eea，又01a，所以11ea，综上所述，a的范围为1,1e.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.10．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xfxexx，函数()fx的图象在点11,Axfx和点22,Bxfx的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则||||AMBN取值范围是_______．【答案】()0,1【分析】结合导数的几何意义可得120xx，结合直线方程及两点间距离公式可得1211xeAxM，2221xeBxN，化简即可得解.【详解】由题意，1011,0,xxxexfxeex，则0,,0xxxfxeex，所以点11,1xAxe和点22,1xBxe，12,xxAMBNkeke,所以12121,0xxeexx，所以111111,0:,11xxxxeexxeAMeyMx，所以112221111xxxexexAM，同理2221xeBxN,所以1111212222122221110,1111xxxxxxxexeeeeeeNxAMB.故答案为：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120xx，消去一个变量后，运算即可得解.11．（2020·天津·高三专题练习）设0a，0b，则222432aabab的最小值是