专题09 不等式（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

专题9不等式一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式26110xxa在区间2,5内有解，则实数a的取值范围是（）A．2,B．3,C．6,D．2,【答案】D【分析】设2()611fxxx，由题意可得min()afx，从而可求出实数a的取值范围【详解】设2()611fxxx，开口向上，对称轴为直线3x，所以要使不等式26110xxa在区间(2，5)内有解，只要min()afx即可，即(3)2af，得2a，所以实数a的取值范围为(2,)，故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）已知220xkxm的解集为1,t（1t），则km的值为（）A．1B．2C．1D．2【答案】B【分析】依题意可得1x为方程220xkxm的根，代入计算可得；【详解】解：因为220xkxm的解集为1,t（1t），所以1x为220xkxm的根，所以2km.故选：B3．（2022·上海·模拟预测）若实数a、b满足0ab，下列不等式中恒成立的是（）A．2ababB．2ababC．222ababD．222abab【答案】A【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.【详解】因为0ab，则220ababab，故2abab，A对B错；222222202222aaaababbbb，即222abab，当且仅当22ab时，即当4ab时，等号成立，CD都错.故选：A.4．（2022·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件20,270,20,xxyxy则34zxy的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线34zxy后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340xyz过A时z有最大值.由2270xxy可得23xy，故2,3A，故max324318z，故选：B.5．（2022·全国·高考真题（文））若x，y满足约束条件2,24,0,xyxyy则2zxy的最大值是（）A．2B．4C．8D．12【答案】C【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2zxy为2yxz，上下平移直线2yxz，可得当直线过点4,0时，直线截距最小，z最大，所以max2408z.故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）已知0a，0b，且2abab，若228abmm…恒成立，则实数m的取值范围是()A．426426m剟B．426m…或426m„C．19m剟D．9m…或1m„【答案】C【分析】由题意化2abab为211ba，利用基本不等式求出2ab的最小值，再解关于m的一元二次不等式即可．【详解】解：0a，0b，且2abab，211ba，1222222(2)()14529babaababababab…，当且仅当3ab时取“”；若228abmm…恒成立，则298mm…，即2890mm„，解得19m剟，实数m的取值范围是[1，9]．故选：C．7．（2023·全国·高三专题练习）设220,0,4xyxyxy，则11xy的最小值等于（）A．2B．4C．12D．14【答案】B【分析】根据题意得到221144xyxyxyxyxyxyxy，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为224xyxy，可得224xyxy且0,0xy，所以221144424xyxyxyxyxyxyxyxyxy，当且仅当4xyxy时，即2xy等号成立，所以11xy的最小值为4.故选：B.8．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则ABC的面积的最大值是（）A．6B．12C．18D．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC面积的最大值．【详解】设2ABACm，2BCn，由于ADBCDB，在ABD△和BCD△中应用余弦定理可得：2222949466mmmnmm，整理可得：2292mn，结合勾股定理可得ABC的面积：22222111()2434222SBCACBCnmnnn222243(43)62nnnn，当且仅当22n时等号成立．则ABC面积的最大值为6．故选：A.9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数,ab满足4111abb，则2ab的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【分析】令211ababb，用1abb分别乘4111abb两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为4111abb，且,ab为正实数所以1(414(1))41111)(abbabbabbabbabb4(1)5291abbbab，当且仅当4(1)1abbbab即2ab时等号成立.所以219,28abab.故选：B.10．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测（理））已知实数x，y满足不等式组25027010xyxyxy，若22(1)(1)xy的最大值为m，最小值为n，则mn（）A．4B．215C．51D．355【答案】B【分析】先作出不等式组表示的平面区域,求出平面区域顶点的坐标,再根据22(1)(1)xy的几何意义分别求出m,n,即可得到结果.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示：由250270xyxy，可解得：1,3A，同理可求：3,2,2,1BC.设P(1,1),则数形结合可知22231215mPB.2PACnd(其中PACd为点P到直线250xy的距离，2221525521PACd)，所以245PACnd.所以421555mn.故选：B11．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知,ab为正实数且2ab，则2bab的最小值为（）A．32B．21C．52D．3【答案】D【分析】由题知11221babab，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为,ab为正实数且2ab，所以2ba，所以，2221212211babababaab因为22111122224baababababab，当且仅当1ab时等号成立；所以2222213bababaab，当且仅当1ab时等号成立；故选：D12．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知x，y满足不等式组110250xxyxy，关于目标函数|||22|zxyxy最值的说法正确的是（）A．最小值2，最大值9B．最小值0，最大值9C．最小值3，最大值10D．最小值2，最大值10【答案】A【分析】作出不等式组对应的可行域，利用点到直线的距离的几何意义求最值即可得解.【详解】满足不等式组110250xxyxy的可行域，如下图中阴影部分：由于||xy可以转化为点,xy到直线0xy的距离的2倍的问题，|22|xy可以转化为点,xy到直线220xy的距离的5倍的问题，又直线0xy与直线10xy平行，且两平行线之间的距离为22数形结合可知，当动点在C点时，目标函数|||22|zxyxy取得最小值，由1,0C，所以min|10||12|2z当动点在E点时，目标函数|||22|zxyxy取得最大值，由1,3E，所以max|13||1232|9z所以目标函数|||22|zxyxy的最小值为2，最大值为9故选：A【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有：①截距型：zaxby，将问题转化为azybb在y轴截距的问题；②斜率型：ybzxa，将问题转化为,xy与,ab连线斜率的问题；③两点间距离型：22zxayb，将问题转化为,xy与,ab两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：zAxByC，将问题转化为,xy到直线0AxByC的距离的22AB倍的问题.二、填空题13．（2021·河南安阳·模拟预测（文））已知关于x，y的不等式组202400xyxyx表示的平面区域为M，在区域M内随机取一点00,Nxy，则00320xy的概率为______．【答案】35##0.6【分析】作出不等式组表示的平面区域，而满足不等式00320xy的点所在区域，然后利用几何概型概率公式即得．【详解】作出不等式组表示的平面区域M(ABC及其内部)，而满足不等式00320xy的点在ABD△内，由题意可得0,4A，0,2B，2,0C，68,55D，则142262ABCS，161842255ABDS，所以所求概率35ABDABCSPS△△.故答案为：35．14．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若22xxa对Rx恒成立，则实数a的取值范围为___.【答案】94a≥【分析】根据一元二次不等式对Rx恒成立，可得Δ14(2)0a，即可求得答案.【详解】220xxaQ对Rx恒成立，9Δ14(2)0,4aa,故答案为：94a≥15．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数ab，满足1ab，Rc，则222313acbcbabcab的最小值为__________.【答案】623##362-+【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.【详解】由1ab，得2221aabb，0,0ab，则222222222(31132143)3(2)311aaaabbabcccbcbabcabcbabcba，2263(1)36231cc，当且仅当2262,3(1)1bacc时取“=”，所以当212,,2133abc时，222313acbcbabcab的最小值为623.故答案为：623【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.16．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数2fxxaxb在2,2上存在零点，且022ba，则b的取值范围是_____.【答案】,426【分析】就20f、20f分类讨论，求解时利用不等式组表示的平面上的点的集合来求范围.【详解】224fba，224fba因为022ba，所以20f，若20f即240ba，由零点存在定理可得fx在2,2上存在零点，考虑不等式组240022baba即24222baaba在坐标平面上所表示的点的集合，因为24ba表示直线24ba及直线24ba下方所有的点，同理222aba表示直线2