专题10 概率 、统计与分布列（理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

专题10概率、统计与分布列一、单选题1．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（）A．625B．875C．415D．475【答案】A【分析】先确定甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线的所有结果的个数，再确定所得两条直线相互垂直的选法数，利用古典概型概率公式求概率.【详解】因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得26C条直线，如图所示：设正方体的边长为2，则2ACBDEF，2ABBCCDDA，2EAEBECED,2FAFBFCFD,由正方体性质可得AC平面BFDE,BD平面AFCE,EF平面ABCD,四边形BFDE,四边形AFCE，四边形ABCD均为正方形，故当甲选,AC时,乙选EB，或BF，或FD，或DE，或EF，或BD，时，甲，乙所选的点的连线垂直，甲选,AB时，乙选BC，或AD，或,EF时，甲，乙所选的点的连线垂直，所以甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有2266CC225种选法，所以甲选相对两个面的中心时，甲乙所选的点的连线垂直的选法有36种，若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲乙所选的点的连线垂直的选法有123种，故甲，乙所选的点的连线垂直的选法共有54种，所以事件甲乙所选的点的连线垂直的概率54622525P,故选：A.2．（2022·河南·高三开学考试（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为X678P0.40.50.1若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（）．A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元【答案】D【分析】由题意2台设备使用期间需更换的零件数可能取值为12、13、14、15、16，再求出它们对应的概率，进而求2台设备另需购买易损零件所需费用可能值及其概率，最后求期望即可.【详解】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，2120.40.16PY，1320.40.50.4PY，2140.520.40.10.33PY，1520.50.10.1PY，2160.10.01PY．若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，则Z的可能取值为0，280，560，840，0130.160.40.56PZPY，280140.33PZPY，560150.1PZPY，840160.01PZPY，2800.335600.18400.01156.8EZ．故选：D3．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为13，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为（）A．47B．56C．13D．57【答案】D【分析】分别计算“至少有两人选择花样滑冰”和“甲同学选择花样滑冰的同时，乙、丙至少有一人选择花样滑冰”的概率，即可求出条件概率．【详解】记事件A为“至少有两人选择花样滑冰”，事件B为“甲同学选择花样滑冰则”，23233323117CC3327PA，2122211215CC333327PAB，所以，5|7PABPBAPA．故选：D.4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）有一组样本数据1x，2x，…，nx，由这组数据得到新样本数据，1y，2y，…，ny，其中1,2,iiyxcin，c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本方差相同B．两组样本数据的样本众数相同C．两组样本数据的样本平均数相同D．两组样本数据的样本中位数相同【答案】A【分析】由方差、平均数、众数和中位数的定义依次判断即可.【详解】因为原来样本平均数121()nxxxxn，新样本平均数121()nyyyyxcn，C错误；原来方差为22221121nsxxxxxxn，新样本方差为2222221211nsyyyyyysn，A正确；设原样本众数为a，则新样本众数为ac，B错误；设原样本中位数为b，则新样本中位数为bc，D错误.故选：A.5．（2022·内蒙古通辽·二模（理））某市为推进“垃圾分类”这项工作的实施，开展了“垃圾分类进校园”的活动.现对该市某学校高二年级示范班级学生进行考核，从该班男生､女生中各随机选出5名进行考核打分，满分为100分，评分后得到这10人得分的茎叶图如图所示，则选出的男生､女生得分的方差分别为（）A．8；6B．6；8C．64；36D．36；64【答案】A【分析】利用平均值和方差公式，即可求解.【详解】男生得分的平均值为9092948688905，方差为041616485；女生得分的平均值为9393938888915，方差为4449965.故选：A.6．（2022·河北·模拟预测）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲､乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（）A．110B．25C．35D．710【答案】C【分析】这5名棋手分别记为：甲，乙，,,ABC，利用列举法写出基本事件，最后利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】这5名棋手分别记为:：甲，乙，,,ABC，分组情况有：（甲乙A，BC），（甲乙B，AC），（甲乙C，AB），（甲AB，乙C），（甲AC，乙B）（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），（ABC，甲乙）共10种，其中甲和乙不在同一人组的有6种，分别为：（甲AB，乙C），（甲AC，乙B）（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），所以甲和乙不在同一个小组的概率为63105P.故选：C.7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知x与y之间的实验数据如下，i12345ix34567iy2.53c4.56且y关于x的线性回归方程为0.850.25yx.现从这5组数据,1,2,3,4,5iixyi中任意抽取两组，则至少有一组的3.5,5iy的概率是（）A．25B．710C．110D．120【答案】B【分析】由线性回归方程必过样本点中心可求出c的值，然后求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由已知条件得13456755x，1162.534.5655cyc，由线性回归方程0.850.25yx必过样本点中心1655,c，将1655,c代入线性回归方程可得4c，设事件A“至少有一组的3.5,5iy”，其中3.5,5iy的数据为5,4和6,4.5，则PA21123225CCC7C10.故选:B.8．（2022·湖北武汉·高三期末）在*Nnn次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为25，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（）A．5：5：4B．4：4：3C．3：3：2D．2：2：1【答案】C【分析】事件A，B，C发生次数均服从二项分布，然后分别求出二项分布，再分别计算二项分布的方差即可【详解】根据,,ABC事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C发生的概率为15设事件A，B，C发生的次数为分别随机变量,,XYZ，则有：2~,5XBn2~,5YBn1~,5ZBn则事件A，B，C发生次数的方差分别为：625n，625n，425n故事件A，B，C发生次数的方差之比为：3:3:2故选：C9．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数4x；②平均数4x且极差小于或等于3；③平均数4x且标准差4s；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】B【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为1037，此时数据的平均数必然大于7，与4x矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数34x，且标准差4s.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.故选：B．10．（2022·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列是（）X246PabcA．()EXDXB．()()EXDXC．()()EXDXD．()()EXDX【答案】A【分析】由均值的定义求出均值()=246EXabc,1abc由方差公式计算出方差(2)(4()=()()())()6DXEXEXbcEaX222－－－做差比较2()()EXDX－可得.【详解】()=246EXabc，1abc(2)(4()=()()())()6DXEXEXbcEaX222－－－22()(()=(246)[(2)(4)()())])(6DXEXEXEEXabcacXb222－－－－222=2(246)(41636)=4[2(23)(49)]=4[2(12)(138)]=abcabcabcabcbcbc2222(12)138=4{2[1222]138}=4[122]0bcbcbcbcbcbcb故选：A【点睛】1．均值与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由均值的定义求出均值()EX，进一步由公式1())(()niiiDXxEXp2＝－求出()DX11．（2021·全国·高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若103p，则（）A．52EXB．218EXC．14DXD．2081DX【答案】D【分析】结合二项分布可计算随机变量X的分布列，再利用公式可求EX、DX，最后利用二次函数的性质可求其范围.【详解】随机变量X可能的取值为2,3.202222221221PXCpCppp.11222311122PXCpppCppppp，故X的分布列为：X23P2221pp222pp故2222152221