考点02 幂指对等函数图像和性质（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点02幂指对等函数的图像和性质1．已知21xfx，ygx与yfx的图象关于原点对称，则12g（）A．12B．212C．2D．0【答案】D【分析】由复合函数求得函数()fx的表达式，再由对称性求得()gx，从而可得函数值．【详解】设2xt，则2logxt，所以2()log1ftt，即2()log1fxx，设P(,)xy是()ygx图象上任一点，它关于原点的对称点(,)Qxy在函数()yfx图象上，所以2log()1yx，即2log()1yx，所以2()log()1gxx，211()log1022g．故选：D．2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xfx，则对任意实数x，有（）A．()()0fxfx-+=B．()()0fxfxC．()()1fxfxD．1()()3fxfx【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】1121112121212xxxxxfxfx，故A错误，C正确；11212121121212122121xxxxxxxxfxfx，不是常数，故BD错误；故选：C．3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）A．112xyB．112xyC．12xyD．21xy【答案】A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x对称，且当1x时，1y，故排除B、D两项；当1x时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当1x时，12xy单调递减，故排除C项.故选：A.4.（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设aR，函数33(0)()log(0)axxfxxx．若1[()]93ff，则实数a的取值范围是_________．【答案】(,2]【分析】根据分段函数的定义和指数的运算性质即可得到结果【详解】3()lo113g13f，1(())(1)393afff所以2a即2a故答案为：(,2]5．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若幂函数在21yx在0,上单调递增，则______.【答案】1【分析】幂函数系数为1，在0,上单调递增上递增，有0，可求解.【详解】幂函数在21yx在0,上单调递增可得21=10解得1故答案为：16．（2022·全国·高三专题练习）“当0,x时，幂函数22231mmymmx为减函数”是“1m或2”的（）条件A．既不充分也不必要B．必要不充分C．充分不必要D．充要【答案】C【分析】根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当0,x时，幂函数22231mmymmx为减函数，所以有22112230mmmmm，所以幂函数22231mmymmx为减函数”是“1m或2”的充分不必要条件，故选：C7．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知函数44lnxxfxx的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，排除C、D选项，根据x时，0fx，可排除B项，即可求解.【详解】由题意，函数44lnxxfxx，可得定义域为(,0)(0,)，关于原点对称，可得44ln44lnxxxxfxxxfx，所以函数fx为奇函数，所以排除C、D选项，当x时，0fx，可排除B.故选：A.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221xfx，则关于x的方程20fxmfxn有7个不同实数解，则实数,mn满足（）A．0m且0nB．0m且0nC．01m且0nD．10m且0n【答案】C【分析】令ufx，利用换元法可得20umun，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u、2u，作出函数()fx的图象，结合题意和图象可得10u、2um，进而得出结果.【详解】令ufx，作出函数ufx的图象如下图所示：由于方程20umun至多两个实根，设为1uu和2uu，由图象可知，直线1uu与函数ufx图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程20fxmfxn有7个不同实数解，则关于u的二次方程20umun的一根为10u，则0n，则方程20umu的另一根为2um，直线2uu与函数ufx图象的交点个数必为4，则10m，解得01m.所以01m且0n.故选：C.9.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数24log1fxax，若1fx是奇函数，则实数a=______．【答案】1【分析】利用奇函数的性质(1)(1)fxfx列方程求参数.【详解】由题意，(1)(1)fxfx，即2244loglog22aaxx，所以242224aaxxxaax，化简得22211aa，解得1a．故答案为：110．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数4sin22xxfx，则124043202220222022fff______．【答案】4043【分析】根据题意，化简得到22fxfx，结合倒序相加法求和，即可求解.【详解】由题意，函数4sin22xxfx，可得244sinsin[(2)]22222xxfxxfxx224424222224222222xxxxxx，设124043202220222022Sfff，则404340421202220222022Sfff两式相加，可得140432404222022202220222022Sffff404312404320222022ff，所以4043S.故答案为：4043.11．（2020·全国·高考真题（理））若2233xyxy，则（）A．ln(1)0yxB．ln(1)0yxC．ln||0xyD．ln||0xy【答案】A【分析】将不等式变为2323xxyy，根据23ttft的单调性知xy，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233xyxy得：2323xxyy，令23ttft，2xy为R上的增函数，3xy为R上的减函数，ft为R上的增函数，xy，0yxQ，11yx，ln10yx，则A正确，B错误；xyQ与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,xy的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））关于函数()ln||ln|2|fxxx有下述四个结论：①()fx的图象关于直线1x对称②()fx在区间(2,)单调递减③()fx的极大值为0④()fx有3个零点其中所有正确结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③④D．①③④【答案】D【分析】根据给定函数，计算(2)fx判断①；探讨()fx在(2,)上单调性判断②；探讨()fx在(0,1)和(1,2)上单调性判断③；求出()fx的零点判断④作答.【详解】函数()ln||ln|2|fxxx的定义域为(,0)(0,2)(2,)，对于①，(,0)(0,2)(2,)x，则2(,0)(0,2)(2,)x，(2)ln|2|ln||()fxxxfx，()fx的图象关于直线1x对称，①正确；对于②，当2x时，()lnln(2)fxxx，()fx在(2,)单调递增，②不正确；对于③，当0x时，()ln()ln(2)fxxx，()fx在(,0)单调递减，当02x时，2()lnln(2)ln[(1)1]fxxxx，()fx在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()fx在(2,)单调递增，因此()fx在1x处取极大值(1)0f，③正确；对于④，由()0fx得：2|2|1xx，即2210xx或2210xx，解得12x或1x，于是得()fx有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D【点睛】结论点睛：函数()yfx的定义域为D，xD，存在常数a使得()(2)()()fxfaxfaxfax，则函数()yfx图象关于直线xa对称.13．（2022·天津·二模）已知0a且1a，函数12,11,12xxxaxfxax在R上是单调函数，若关于x的方程103fxx恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（）A．11,64B．11,43C．111,,1642D．11,1,243【答案】A【分析】根据题意分析2gxxxa，0a且1a可得fx只能是减函数，再结合分段函数的单调性可得14a，再画图分析yfx与13yx的图象恰有2个交点时满足的不等式求解即可【详解】先分析函数2gxxxa，0a且1a易得2,22,2xxaxagxxxaxa，因为0a，可得图象：因为函数12,11,12xxxaxfxax在R上是单调函数，故fx只能是减函数，且21a，即12a.故当1x时，1111122aa，结合12a可得14a.故12,11,12xxxaxfxax，又关于x的方程103fxx恰有2个互异的实数解，即yfx与13yx的图象恰有2个交点，画出图象：可得111213a，解得16a.综上有11,64a故选：A14.（2022·浙江·效实中学模拟预测）若不等式34311log041xttx对任意的正整数x恒成立，则t的取值范围是___________.【答案】104,93【分析】由题意知,原不等式33(1)104log041xttx或33(1)104log041xttx，,利用对数函数与指数函数的性质得到关于t的不等式，求出对任意的正整数x都成立的t的取值即可.【详解】原不等式33(1)104log041xttx或33(1)104log041xttx，因为1a,所以11314xttx（1）或11314xttx（2）.当1x时，（2）成立，此时3443t.当xZ，2x时，（1）成立，因为在（1）中，11134xtx，令15()34xgxx，则1