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考点12-1排列组合1．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323CC种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A种安排方法所以，不同的安排方法共有326种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.2．（2023·全国·高三专题练习）3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（）A．72种B．64种C．48种D．36种【答案】D【分析】利用捆绑法，将2名女生捆绑在一起，先站2名女生，再站3名男生.【详解】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有22A种站法，又2名女生都不站在最左端，故有13A种站法，剩下3个位置，站3名男生有33A种站法，故不同的站法共有213233AAA36种.故选：D.3．（2022·海南中学高三阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都不是冠军，且乙不是最后一名、则这5人的名次排列所有可能的情况共有（）A．18种B．36种C．54种D．72种【答案】C【分析】先排冠军位置，再排最后一名，最后再考虑其他三个位置，有分步乘法计数原理进行求解.【详解】先从丙、丁、戊三人中选择一人为冠军，有13A种情况，再从除乙外的三人中选择一人为最后一名，有13A种情况，最后将剩余三人进行全排列，有33A种情况，综上：这5人的名次排列所有可能的情况共有13A13A33A=54种.故选：C4.（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．（2022·云南师大附中高三阶段练习）成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）【答案】24【分析】把“徵”“羽”看成一个元素，排在“宫”的前面，再排“商”“角”，最后计算“徵”“羽”交换顺序排列即可.【详解】解：把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在后，“徵”“羽”在前的顺序，有24C种排法，另两个位置排“商”“角”，有22A种排法，“徵”“羽”又可交换顺序排列，有22A种排法，故所求音序种数为222422CAA24.故答案为：24.6.（2022·全国·高三专题练习）若32A12Cnn，则n等（）A．8B．4C．3或4D．5或6【答案】A【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求出n.【详解】由题意，根据排列数、组合数的公式，可得3A12nnnn，2112C126121nnnnn，则1261nnnnn，且,3nNn，解得：8n.故选：A7．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（）种A．15B．20C．10D．9【答案】C【分析】根据题意，用插空法分析：先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，分析其空位情况，在空位中，任选3个，安排熄灭的灯，由组合数公式计算可得答案.【详解】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，则需要用插空法分析：先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位，在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有35C10种情况，即有10种关灯方法.故选：C8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））现安排编号分别为1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（）A．36B．24C．18D．12【答案】C【分析】先按照要求将志愿者分为3组，再分配到三项工作，最后由分步计数原理求解即可.【详解】先将四位志愿者分为2人、1人、1人共3组，有1号和3号一组；2号和4号一组；1号和4号一组共3种情况；再将3组志愿者分配到三项工作有33A6种；按照分步乘法计数原理，共有1863种.故选：C.9.只能参加一科竞赛，若A和B不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】30【分析】根据题意，先安排四位同学参加三科竞赛且每科都有人参加的情况，再去除A和B参加同一科的情况即可得答案.【详解】解：根据题意，若ABCD、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有2343CA36种情况，若ABCD、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A和B参加同一科的有2323CA6种情况；所以，满足题意的情况共有23234323CACA30种.故答案为：3010．（2022·北京·测试学校四高三）将不大于12的正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有___________种.【答案】252【分析】依题意2,4,6,8,10,12恰好在6个不同的集合中，设依次为2412,,,YYY，则1,7,11可以任意放，5不能放在10Y中，3，9不能放在6Y或12Y中，分两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：易知2,4,6,8,10,12中的元素两两不互质，因此恰好在6个不同的集合中.设依次为2412,,,YYY.此时剩余的正整数中1,7,11可以任意放在上述6个集合中，5不能放在10Y中，3，9不能放在6Y或12Y中，分两种情况：①若5放入了6Y或12Y中，有两种情况，此时3与9可在4个集合中选择，有24A种情况，而1,7,11放入集合有33A种情况.②若5没有放入6Y或12Y中，则5有3个集合可以选择，进而3与9可在3个集合中选择，有23A种情况，而1,7,11放入集合有33A种情况.综上所述，不同的集合拆分方法共有123123243333AAAAAA252种.故答案为：25211.（2022·北京市第十二中学三模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】分类分步排列即可.【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，故选：B.12．（2022·全国·高三专题练习（理））已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【答案】C【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果.【详解】因为24511或123511所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有12235423225613219021CCCAA种.各放3个，1个，1个的方法有311352132210213216021CCCAA种.（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有211145321433103214321240321CCCCAA种.综上，总的放球方法数为9060240390种.故选：C13．（2020·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高三期中）从1，2，3，…，20中选取四元数组1234,,,aaaa，满足2132433,4,5aaaaaa，则这样的四元数组1234,,,aaaa的个数是A．49CB．410CC．411CD．412C【答案】C【解析】通过假设1122133244354,2,3,4,21xaxaaxaaxaaxa，分析得到满足的12345,,,,xxxxx的个数，从而确定出四元数组1234,,,aaaa的个数.【详解】因为11a，记111xa，因为213aa，所以2121aa，记22121xaa，因为324aa，所以3231aa，记33231xaa，因为435aa，所以4341aa，记44341xaa，因为4211a，记54211xa，所以1234512xxxxx，所以四元数组1234,,,aaaa的个数，即为满足条件的12345,,,,xxxxx的个数，又因为12345,,,,1xxxxx且1234512xxxxx，所以12345,,,,xxxxx的个数为：411C（12看成12个1排成一列，会形成11个空位，插入4个隔板隔开，形成5个数），则四元数组1234,,,aaaa的个数为411C，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的综合应用，其中涉及到数字排列的变换以及隔板法的运用，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难.14．（2022·全国·高三专题练习）将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）.【答案】27【分析】按照1号球是否放在B盒子分类，结合.【详解】若1号球放在B盒子中，共有1243=18CC种放法；若1号球放在C盒子中，共有3231=9CC种放法；所以共有放法总数为18+9=27.故答案为：27.15．（2021·全国·高三专题练习（理））若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________【答案】350【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.【详解】所有三位数个数为900个.“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是0的，共有44442=18个，分别为109,190,901,910;208,280,802,820;307,370,730,703;406,460,604,640;505,550；②含有两个相同数字的，共有3333=12个，分别为181,118,811;226,262,622;3