考点12-2 二项式定理 (理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点12-2二项式定理1．（2022·全国·高三专题练习）若34270127122xxaaxaxax，则0246aaaa()A．27B．－27C．54D．－54【答案】B【分析】采用赋值法，令1x和1x得到不同的系数和，两个系数和相加即可求0246aaaa．【详解】34270127122xxaaxaxax，令1x可得340127122127aaaa，令1x可得340127121281aaaa，两式相加可得0246254aaaa，∴024627aaaa．故选：B．2．（2020·山东·高考真题）在821xx的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A．56B．56C．70D．70【答案】A【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】第4项的二项式系数为388765632C，故选：A.3．（2015·山东·高考真题）51x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A．0B．1C．32D．32【答案】D【分析】根据nab的二项展开式系数之和为2n求解即可【详解】51x的二项展开式中所有项的二项式系数之和为5232故选：D4.（2021·山东·高三开学考试）设0122191919191919CC7C7C7a，则a除以9所得的余数为______．【答案】8【分析】根据已知条件将a写为19(17)，即19(91)，展开后观察式子即可得到结果.【详解】因为0122191919191919CC7C7C7a，所以191901911818118191919191919(17)(91)C9C9(1)C9(1)C(1)919(1)8akk，*kN，所以a除以9所得的余数为8．故答案为：85．（2023·全国·高三专题练习）在5223xx的展开式中含10x和含2x的项的系数之和为______【答案】674【分析】先用十字相乘法分解因式，然后利用组合知识求解出指定项系数，求出和.【详解】5223xx55(3)(1)xx，则10x的系数为1，2x的系数为4413355255555C(3)CC(3)C(3)C675，所以在5223xx的展开式中含10x和含2x的项的系数之和为6751674．故答案为：-6746.（2023·全国·高三专题练习）若6260126(2)(1)(1)(1)xaaxaxax，则4a（）A．270B．135C．135D．270【答案】B【分析】以1x代替x，可得6260126(3)xaaxaxax，求出4x的系数，即可得答案【详解】6260126(2)(1)(1)(1)xaaxaxax，以1x代替x，得6260126(3)xaaxaxax，所以其通项公式为66166C3()C3(1)rrrrrrrrTxx，令4r，所以464446C3(1)135a，故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）若2521001210(1)xxaaxaxax，则13579aaaaa（）A．1B．0C．1D．2【答案】C【分析】利用赋值法分别赋值1x和1x求系数和，即得.【详解】∵2521001210(1)xxaaxaxax，令1x，则501210111aaaa，即012101aaaa，令1x，则501210(111)aaaa，即012101aaaa，1357922aaaaa，即135791aaaaa.故选：C.8．（2022·北京·清华附中模拟预测）二项式61xx的展开式中4x的系数与6x的系数之比为（）A．6B．-6C．15D．-15【答案】B【分析】根据二项式写出含4x、6x的项，即可得结果.【详解】由题设6621661C()(1)CrrrrrrrTxxx，所以含4x项为1144261C6Txx，含6x项为0066161CTxx，，则系数之比为-6.故选：B9.（2023·全国·高三专题练习）6221xx的展开式中常数项为______【答案】59【分析】利用组合知识进行求解.【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，得展开式中常数项为02142266462CCC(2)CC(2)59．故答案为：-5910．（2021·天津·高考真题）在6312xx的展开式中，6x的系数是__________．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令x的指数为6即可求出.【详解】6312xx的展开式的通项为636184166122rrrrrrrTCxCxx，令1846r，解得3r，所以6x的系数是3362160C.故答案为：160.11.（2022·河南·模拟预测（理））已知12211nnxxxx的展开式中各项系数和为4，则4x的系数为（）A．16B．8C．0D．12【答案】D【分析】根据系数和为4，令x=1代回原式，可求得n值，利用二项式展开式的通项公式，分析计算，即可得答案.【详解】因为各项系数和为4，所以令x=1，代入可得1(111)(11)4nn，解得3n，所以原式为2332224211112xxxxxxxxx，又332211xxxx展开式的通项公式为33221331kkkkkkTCxxCxx，令k=3，则032431TCxx，所以可得一个4x的系数为111，令k=0，则30213TCxx，又32xx展开式的通项公式为326133()(1)rrrrrrrTCxxCx，令0r，006613(1)TCxx，所以可得一个4x的系数为111，令3r，3333643(1)TCxxx，所以可得一个4x的系数为(1)22，令k=1，212423233(2)TCxxxxx，所以可得一个4x的系数为3(2)212，综上：4x的系数为1121212.故选：D12．（2021·全国·高三专题练习）已知62axx展开式的常数项的取值范围为135,240，且2ln2xaxax≥恒成立.则a的取值范围为（）A．4,33,4B．4,13,4C．1,4D．4,3【答案】D【分析】由二项展开式通项结合已知条件可求得实数a的取值范围，再由2ln2xaxax≥恒成立结合参变量分离法可求得实数a的取值范围，综合可得出结果.【详解】62axx展开式的通项为6631662rrrrrrraTCxCaxx，令630r，可得2r，所以，展开式中的常数项为2223615135,240TCaa，解得43a≤≤或34a，令lnfxxx，其中0x，可得111xfxxx.当01x时，0fx，此时函数fx单调递减，当1x时，0fx，此时函数fx单调递增，所以，110fxf，由2ln2xaxax≥可得22lnxxaxx，其中0x，构造函数22lnxxgxxx，其中0x，则222122ln2112ln2lnlnxxxxxxxxxgxxxxx，令2ln2hxxx，其中0x，则221xhxxx.当02x时，0hx，此时函数hx单调递减，当2x时，0hx，此时函数hx单调递增.所以，242ln20hxh.所以，当01x时，0gx，此时函数gx单调递减当1x时，0gx，此时函数gx单调递增.所以，min11gxg，1a.综上所述，实数a的取值范围是4,3.故选：D.13．（2022·全国·高三专题练习（理））设0,1,2,,2020iai是常数，对于xR，都有20200122020112122020xaaxaxxaxxx，则012345201920202!3!4!2018!2019!aaaaaaaa（）A．2019B．2020C．2019！D．2020！【答案】A【分析】先令1x，求得0a的值，再将给定的恒等式两边求关于x的导数，然后令1x，从而可得所求的值.【详解】因为20200122020112122020xaaxaxxaxxx，则令1x可得01a.又对20200122020112122020xaaxaxxaxxx两边求导可得：2019122020202012122020xaaxxaxxx，令12nfxxxxn，则12+2nfxxxxnxxn，所以1112111!nnfnn，所以12201920191232020202011112!12019!aaaa故123202020202!2019!aaaa，所以012345201920202!3!4!2018!2019!202012019aaaaaaaa.故选：A.【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题.14．（2021·河南·郑州市第一〇六高级中学高三期中（理））已知等差数列na，对任意nN都有01211231CCCC2nnnnnnnaaaan成立，则数列121nnaa的前n项和nT__________．【答案】161nn【分析】根据二项式的性质化简可得111222nnnandn，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.【详解】设等差数列的公差为d，则11naand，因为012112312nnnnnnnaCaCaCaCn，所以012112312nnnnnnnaCaCaCaCn011231CCCC2C3CCnnnnnnnnnadn0111111112CCC22nnnnnnnandand，所以111222nnnandn，所以1240and对nN恒成立，所以10a，4d，所以等差数列na的通项公式41nan，所以121111144(1)161nnaannnn，所以数列121nnaa的前n项和111161161nnTnn．故答案为：161nn.15．（2019·全国·高三竞赛）设整数4n，(21)nxy的展开式中4nx与xy两项的系数相等，则n