考点6-3 数列通项与递推公式综合应用(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解

考点6-3数列通项与递推公式综合应用1．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb【答案】D【分析】根据*1,2,kkN…，再利用数列nb与k的关系判断nb中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为*1,2,kkN，所以1121，112111，得到12bb，同理11223111，可得23bb，13bb又因为223411,11112233411111，故24bb，34bb；以此类推，可得1357bbbb…，78bb，故A错误；178bbb，故B错误；26231111…，得26bb，故C错误；11237264111111…，得47bb，故D正确.故选：D.2．（2020·北京·高考真题）在等差数列na中，19a，51a．记12(1,2,)nnTaaan……，则数列nT（）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151aad，则其通项公式为：11912211naandnn，注意到123456701aaaaaaa，且由50T可知06,iTiiN，由117,iiiTaiiNT可知数列nT不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1aaaaaa，故数列nT中的正项只有有限项：263T，46315945T.故数列nT中存在最大项，且最大项为4T.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）若数列na满足132nnaa，则称na为“梦想数列”，已知正项数列1nb为“梦想数列”，且12b，则nb（）A．nb=23nB．nb=213nC．nb=23n+1D．nb=213n+1【答案】B【分析】将1nb作为整体代入，即可求解.【详解】依题意，111312,3nnnnbbbb，即nb是首项为2，公比为3的等比数列，123nnb；故选：B.4.（2022·北京·高考真题）已知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn．给出下列四个结论：①na的第2项小于3；②na为等比数列；③na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【分析】推导出199nnnaaa，求出1a、2a的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，Nn，0na，当1n时，219a，可得13a；当2n时，由9nnSa可得119nnSa，两式作差可得199nnnaaa，所以，199nnnaaa，则2293aa，整理可得222390aa，因为20a，解得235332a，①对；假设数列na为等比数列，设其公比为q，则2213aaa，即2213981SSS，所以，2213SSS，可得22221111aqaqq，解得0q，不合乎题意，故数列na不是等比数列，②错；当2n时，1119990nnnnnnnaaaaaaa，可得1nnaa，所以，数列na为递减数列，③对；假设对任意的Nn，1100na，则10000011000001000100S，所以，1000001000009911000100aS，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知nS是数列na的前n项和，42a，1112nnana，则2022S___________．【答案】1011【分析】根据递推式计算可知数列na具有周期性，即可解出．【详解】因为42a，1112nnana，所以32156111,,2,,122aaaaa，因此数列na具有周期性，3T，12332aaa，故202232022101123S．故答案为：1011．6．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，1nnSa，13b，当2n时，123nnb，若对于任意*nN，不等式0nntStT恒成立，则实数t的取值范围为（）A．31,2B．1,2C．3,22D．1,32【答案】B【分析】先分别求出112nnS=-，1123nnT，判断出nS随着n增大而增大，nT随着n增大而减小，且112nS，23nT，即可得到实数t的取值范围.【详解】由1nnSa①，可得111nnSa②，所以②－①得11nnnaaa，即112nnaa.因为111aa，所以112a，故na是首项为12，公比为12的等比数列，所以12nna，故112nnS=-.当2n时，211111123331323nnnT，当1n时，13T也符合1123nnT，故1123nnT.显然nS随着n增大而增大，nT随着n增大而减小，且112nS，23nT，故要使得0nntStT恒成立，则12t.故选：B7．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列na的首项11a，函数41cos221nnfxxaxa有唯一零点，则通项na（）A．13nB．12nC．21nD．32n【答案】C【分析】由奇偶性定义可判断出fx为偶函数，由此可确定唯一零点为0x，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列1na为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到na.【详解】4411cos221cos221nnnnfxxaxaxaxafx，fx为偶函数，图象关于y轴对称，fx的零点关于y轴对称，又fx有唯一零点，fx的零点为0x，即10210nnfaa，121nnaa，即1121nnaa，又112a，数列1na是以2为首项，2为公比的等比数列，12nna，则21nna.故选：C.8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知nS为数列na的前n项和，若1222,10nnaaS，则na的通项公式为（）A．34nnaB．22nnaC．2nannD．231nan【答案】B【分析】先由题设求出1a，再通过构造得1222nnaa，由等比数列的通项公式即可求解.【详解】令1n可得2122aa，又21210Saa，解得14a，又12242(2)nnnaaa，则122a，1222nnaa，即2na是以2为首项，2为公比的等比数列，则1222nna，22nna.故选：B.9.（2022·全国·高三专题练习）数列na满足：123a，21*12122Nnnnnaan，则na的通项公式为_____________.【答案】122121nnnna【分析】先由条件得1221221nnnnaa，再结合累乘法求得na的通项公式即可.【详解】由2112122nnnnaa得，1122222122121nnnnnnaa，则1231122113123121212121222221212121nnnnnnnnnnnnaaaaaaaa11322121nnn，即111322121nnnnaa，又123a，所以122121nnnna.故答案为：122121nnnna.10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足112,22Nnnaaann，则数列1na禳镲睚镲铪的前2022项的和为___________.【答案】20222023【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可.【详解】由题意可知，满足112,22nnaaan，当2n时，12122nnaann，21324314,6,8,,2nnaaaaaaaan，以上各式累加得，1213243124682nnnaaaaaaaaaan.(22)(1)2nnnn，当1n时，12,a也满足上式，∴(1)nann，则1111(1)1nannnn.∴数列1na禳镲睚镲铪的前n项和为1231111111111223111nnSaaannnn，∴202220222023S.故答案为：20222023.11．（2022·全国·高三专题练习）设,abR，数列na中，211,nnaaaab，Nn,则A．当101,102baB．当101,104baC．当102,10baD．当104,10ba【答案】A若数列na为常数列，101aaa，则只需使10a，选项的结论就会不成立.将每个选项的b的取值代入方程20xxb，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.【详解】若数列na为常数列，则1naaa，由21nnaab，可设方程20xxb选项A：12b时，2112nnaa，2102xx，1210，故此时na不为常数列，222112()222nnnnaaaa，且2211122aa，792(2)42aa，则21091610aa，故选项A正确；选项B：14b时，2114nnaa，2104xx，则该方程的解为12x，即当12a时，数列na为常数列，12na，则101102a，故选项B错误；选项C：2b时，212nnaa，220xx该方程的解为1x或2，即当1a或2时，数列na为常数列，1na或2，同样不满足1010a，则选项C也错误；选项D：4b时，214nnaa，240xx该方程的解为1172x，同理可知，此时的常数列na也不能使1010a，则选项D错误.故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）数列{}na，nb满足2112333...33nnnaaaa，*nN，3nnnban，若nb的前n项和为nS，则下列选项正确的是（）A．20172018lnSB．