考点6-4 数列前n项和综合应用(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点6-4数列前n项和综合应用1．（2021·全国·高三课时练习）已知数列na满足12347324naaanan，则23342122aaaaaa（）A．58B．34C．54D．52【答案】C利用32nna的前n项和求出数列32nna的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122aaaaaa的值.【详解】12347324naaanan.当1n时，14a；当2n时，由12347324naaanan，可得1231473541naaanan，两式相减，可得324nna，故432nan，因为14a也适合上式，所以432nan.依题意，12161611313433134nnaannnn，故233421221611111111161153477101013616434644aaaaaa.故选：C.2．（2014·全国·高三课时练习（理））设函数()mfxxax的导函数()21fxx，则数列*1N()nfn（）的前n项和是（）A．+1nnB．+2+1nnC．1nnD．1nn【答案】A【分析】由题意，根据导数，求解,ma的值，得到数列1fn，即可求解数列的和.【详解】由题意，函数mfxxax，则1mfxmxa，又由21fxx，所以2,1ma，即2fxxx，所以2(1)fnnnnn，所以1111(1)1fnnnnn，所以1fn的前n项和为111111(1)()()1223111nnnnn，故选A.3．（2018·全国·高三课时练习）若数列na的通项公式是132nnan，则1210aaa（）A．15B．12C．12D．15【答案】A【分析】根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和.【详解】由于132nnan，故1210aaa147101316192225283333315.故选A.4.（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和221()nnSnnnN，则d+q的值是_______．【答案】4【分析】结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得,nnab的公差和公比，由此求得dq.【详解】设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，根据题意1q.等差数列na的前n项和公式为2111222nnnddPnadnan，等比数列nb的前n项和公式为1111111nnnbqbbQqqqq，依题意nnnSPQ，即22111212211nnbbddnnnanqqq，通过对比系数可知111212211ddaqbq112021daqb，故4dq.故答案为：45．（2014·全国·高三课时练习（理））在数列na中，112,1nnaaa(n∈N+)，设Sn为数列na的前n项和.则S2007-2S2006+S2005=_________.【答案】3【详解】当n为偶数时，a1＋a2＝a3＋a4＝…＝an－1＋an＝1，故Sn＝2n；当n为奇数时，a1＝2，a2＋a3＝a4＋a5＝…＝an－1＋an＝1，故Sn＝2＋12n＝32n.故S2007－2S2006＋S2005＝1005－2×1003＋1004＝3.6．（2021·全国·高三课时练习）将等比数列nb按顺序分成1项，2项，4项，…，12n项的各组，再将公差为2的等差数列na的各项依次插入各组之间，得到数列nc：1b，1a，2b，3b，2a，4b，5b，6b，7b，3a，…，数列nc的前n项和为nS．若11c，22c，3134S，则100S（）A．18611302B．1863113042C．18621113022D．1861113032【答案】D【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列nc的前100项中含有数列na的前6项，含有数列nb的前94项，运用分组求和的方法可求得答案.【详解】解：由已知得11b，12a，2331214bcScc，等比数列nb的公比14q．令21122221nnnT，则663T，7127T，所以数列nc的前100项中含有数列na的前6项，含有数列nb的前94项，故1001294126Sbbbaaa941861165114621301222341．故选：D．7．（2021·全国·高三课时练习）已知等差数列na的前n项和为nS，若190S，200S，则11Sa，22Sa，…，2020Sa中最大的是（）A．88SaB．99SaC．1100SaD．1111Sa【答案】C【分析】由条件得到此数列为递减数列，进而可以推出1231011120aaaaaa，12100SSS，1011121920210SSSSSS，进而可得出答案.【详解】由119191019()1902aaSa，得到100a；由12020101120()10()02aaSaa，得到110a，∴等差数列na为递减数列，且1231011120aaaaaa，12100SSS,1011121920210SSSSSS,当10n时，0,0nnSa，且10S最大，10a最小，所以1100Sa最大；当1119n时，0,0nnSa，此时0nnSa；当20n时，20200,0Sa，且20100SS，20100aa，所以202010202010SSSaaa，综上所述，11Sa，22Sa，…，2020Sa中最大的是1100Sa.故选：C．8．（2020·全国·高三课时练习（理））设数列na的前n项和为nS，11a，nnSna为常数列，(na)A．113nB．21nnC．112nnD．523n【答案】B【分析】由题意知，2nnSna，当2n时，能得到111nnnana，由此能求出21nann．【详解】数列na的前n项和为nS，且11a，111112Sa，nnSna为常数列，由题意知，2nnSna，当2n时，111nnnana，从而3241231121341nnaaaanaaaan，21nann，当1n时上式成立，21nann．故选B．9.（2014·全国·高三课时练习（理））若数列na是正项数列，且212...32naaannnN，则12...23aa1nan__________．【答案】22610nn【分析】通过已知条件求出数列的通项公式，然后化简所求数列的各项，利用等差数列求出数列的和．【详解】因为数列{an}是正项数列，且12naaan2+3n2，（n∈N*）…①所以121naaa（n﹣1）2+3n﹣3+22n，…②所以①﹣②得，na2n+22n，可得24(1)2nann，则：1nan4（n+1）2n，又16a，故136a所以1218231naaan4[3+4+…（n+1）]141842nn2n2+6n+10．故答案为22610nn10．（2018·全国·高三课时练习（理））已知数列{}na中，45nan，等比数列{}nb的公比q满足1(2)nnqaan，且12ba，则12nbbb__________．【答案】41n【详解】145[415]4nnqaann，124253ba，所以11134nnnbbq，113434nnnb，所以211214334343434114nnnnbbb，故答案为41n.11．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））设数列na的通项公式为*121cos1N2nnnann，其前n项和为nS，则120S（）A．60B．120C．180D．240【答案】D【分析】分别取43nk，42k，41k和4k，*kN，可验证出43424148kkkkaaaa，利用周期性可验算得到结果.【详解】当43nk，*Nk时，cos02n，431ka；当42nk，*Nk时，1os2cn，4224211186kakk；当41nk，*Nk时，cos02n，411ka；当4nk，*Nk时，cos12n，424118kakk.4342414186188kkkkaaaakk，12012082404S.故选：D12．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}na满足11a，1(*)1nnnaanNa．记数列{}na的前n项和为nS，则（）A．100321SB．10034SC．100942SD．100952S【答案】A【分析】由题意首先整理所给的递推关系式，得到数列的通项的范围，然后利用裂项相消法求和即可确定前100项和的范围．【详解】解：因为111,1nnnaaaa，所以210,2naa，所以1001232Saa，22111111111()()242nnnnnaaaaa，11112nnaa，故121111111,,22nnaaaa，由累加法可得当2n…时，211111114(1)1222(1)nnnnnnanaaa，又因为当1n时，24(1)nan也成立，所以*24()(1)nanNn…，所以1123111nnnnnaanaanan„，113nnanan，故1212112,,,214nnnnaaannanana剟?，由累乘法可得当2n…时，112326116()2154(2)(1)12nnannnaannnnnnn„，所以100111111111116()16()1233445561011023102S„，所以100332S．故选：A．13．（2021·河南·高三阶段练习（理））定义x表示不超过x的最大整数，如0.51，2.32．若数列na的通项公式为2lognanNn，则40951nna（）A．121022B．11922C．1022D．78【答案】A【分析】由题可得当122kkn≤Nk时，含有2k个数列na中的项2lognank，又111224095409