考点7-3 体积与表面积(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点7-3体积与表面积1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】先求出母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可.【详解】设圆锥的母线长为l，则223l，解得3l，则该圆锥的表面积为23114.故选：C.2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,rr，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,rr，所以1233432,2sin60sin60rr，即123,4rr，设球心到上下底面的距离分别为12,dd，球的半径为R，所以219dR，2216dR，故121dd或121dd，即229161RR或229161RR，解得225R符合题意，所以球的表面积为24π100πSR．故选：A．3．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则ra（）A．22B．34C．22D．3212【答案】D【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为R，从而利用R表达出小球最大半径r和正方体棱长a，进而求出比值.【详解】设储物盒所在球的半径为R，如图，小球最大半径r满足21rR，所以2121RrR，正方体的最大棱长a满足22222aaR，解得：23aR，∴21321223ra，故选：D.4.（2022·江西·模拟预测（文））如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E是侧面11BBCC内的一个动点，则三棱锥1DAED的体积为_________.【答案】43【分析】根据三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】点E到平面1ADD的距离为2，所以11111142=222=3323DAEDEADDADDVVS△.故答案为：43.5．（2022·辽宁·二模）市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面半径为4cm，上底面半径为2cm，高为6cm，上方的圆锥高为8cm，则此冰激凌的体积为_______3cm．【答案】2003【分析】先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.【详解】圆台的体积221164242563T，圆锥的体积221322833T，总体积为122003TTT，故答案为：2003.6.（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．27【答案】D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱AFDBHC及直三棱柱DGCAEB组成，作HMCB于M，如图，因为3,120CHBHCHB，所以333,22CMBMHM，因为重叠后的底面为正方形，所以33ABBC,在直棱柱AFDBHC中，AB平面BHC，则ABHM,由ABBCB可得HM平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为,I则132713813333,=3333=322224IBCDAAFDBHCVV则该几何体的体积为8127222742AFDBHCIBCDAVVV.故选：D.7．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．5104【答案】C【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，根据圆锥的侧面积公式可得122rr，再结合圆心角之和可将12,rr分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，则11222SrlrSrlr甲乙，所以122rr，又12222rrll，则121rrl，所以1221,33rlrl，所以甲圆锥的高2214593hlll，乙圆锥的高22212293hlll，所以22112222145393101122393rhllVVrhll甲乙.故选：C.8．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]【答案】C【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36，所以球的半径3R,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah，22232(3)ah,所以26hl，2222alh所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936lllVShahll，所以5233112449696llVll，当326l时，0V，当2633l时，0V，所以当26l时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又3l时，274V，33l时，814V,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.9.（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥PABC中，PA垂直底面ABC，6AP，5ABCS△，若三棱锥的内切球半径为32，则此三棱锥的侧面积为___________.【答案】35【分析】设三棱锥内切球圆心为O，以O为顶点将三棱锥PABC分为四个小三棱锥，通过三棱锥体积不变即可求出三棱锥的表面积进而可求得三棱锥的侧面积.【详解】设三棱锥内切球圆心为O，以O为顶点将三棱锥PABC分为四个小三棱锥，则三棱锥PABC的体积13131313133232323232PACPABPBCABCVSSSSS总，PA垂直底面ABC，三棱锥PABC的体积1253ABCVSPA，则通过三棱锥体积不变可知=45S总，=45535ABCSSS侧总.故答案为：35.10．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为833，则该几何体的体积为___________．【答案】12839##12839【分析】由题设求出中间截面三角形的面积，再类比体积公式求解即可【详解】根据题意，图2立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同底等高正三棱锥之后的体积，因为该几何体中间截面三角形边长为833，所以该底面积18383163sin602333S，因为圆柱的直径为4，所以该几何体一半的高为2，所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2，所以对应正三棱柱的体积163323233V，正三棱锥的体积111633232339V，所以该几何体的体积为1128329VV.故答案为：1283911.（2022·浙江·三模）在四棱锥1234PAAAA中，,(0,1),1,2,3,4iiiiPBxPAxi．记三棱锥123123,PAAAPBBB的体积分别为12,VV，四棱锥12341234,PAAAAPBBBB的体积分别为343412,,,VVxxxx，则（）A．12VVB．12VVC．34VVD．34VV【答案】C【分析】由31231212,APAABPBBVVVV得121222111313PBBPAAShVVSh即可判断A，B选项；设三棱锥411343,PAAAPBBB的体积分别为56,VV，同理得343446134531313PBBPAAShVxxxVSh，则315426153,VVVVVVVVV即可判断C，D选项.【详解】由题意知：312412341234,,,PBPBPBPBxxxxPAPAPAPA，设33,AB到平面12PAA的距离分别为12,hh，易得32313PBhxhPA，则1233121212331212112211,33PAAAAPAAPAAPBBBBPBBPBBVVVShVVVSh，121212121212121sin21sin2PBBPAAPBPBAPASxxSPAPAAPA，则121222123111313PBBPAAShVxxxVSh，即21VV，则A，B错误；设三棱锥411343,PAAAPBBB的体积分别为56,VV，设11,AB到平面34PAA的距离分别为34,hh，易得41131hPBxhPA，则4134344134341313536411,33PAAAAPAAPAAPBBBBPBBPBBVVVShVVVSh，343434343434341sin21sin2PBBPAAPBPBAPASxxSPAPAAPA，则3434461341234531313PBBPAAShVxxxxxxxVSh，即65VV，又121222123111313PBBPAAShVxxxVSh，即21VV，又315426153,VVVVVVVVV，则C正确，D错误.故选：C.12．（2023·全国·高三专题练习）已知球O的体积为125π6，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为12,SS，若125π8S，则2S（）A．2B．5C．6D．22【答案】C【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.【详解】球O半径为R，由34π125π36R得52R，平面截球O所得截面小圆半径1r，由21128π5πSr得1522r，因此，球心O到平面的距离2211522dRrr，而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为45，因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为132d，于是得圆锥底面圆半径2222153()()222rRd，令平面截圆锥所得截面为等腰PAB△，线段AB为圆锥底面圆1O的弦，点C为弦AB中点，如图，依题意，145CPO，111COPO，2PC，弦221223ABrOC，所以2162ABSPC.故选：C13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知某正四棱锥的体积是23，该几何体的表面积最小值是1S，我们在绘画该