考点8-1 直线与圆(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点8-1直线与圆1．（2020·山东·高考真题）已知直线sincos:yxl的图像如图所示，则角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin0、cos0，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin0，cos0，则角是第四象限角，故选：D.2．（2020·山东·高考真题）已知圆心为2,1的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（）A．22211xyB．22214xyC．22211xyD．22214xy【答案】B【分析】圆的圆心为(2,1)，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4xy.故选：B.3．（2021·河南·高三开学考试（文））已知直线1yx与圆心为O的圆：221xy交于A、B两点，则在圆O中任取一点，该点取自ABO中的概率为（）A．12B．14C．12D．1【答案】C【分析】根据直线1yx与圆心为O的圆：221xy交于A、B两点，可得1,0,0,1AB，进而可得三角形的面积和圆的面积，利用几何概型的公式，可得答案.【详解】根据题意，易知1,0,0,1AB，则111122AOBS△，圆的面积 S圆，所以圆O内任取一点，该点落在ABC中的概率为12.故选：C.4.（2019·全国·专题练习）若⊙221:5Oxy与⊙222:()20()OxmymR相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．【答案】4【详解】依题意得OO1＝520＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝12·2AB·OO1＝12·OA·AO1，因此AB＝11225255OAAOOO＝＝4.5．（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)ABa，若直线AB关于ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共点，则a的取值范围是________．【答案】13,32【分析】首先求出点A关于ya对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：2,3A关于ya对称的点的坐标为2,23Aa，0,Ba在直线ya上，所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为32ayxa，即3220axya；圆22:321Cxy，圆心3,2C，半径1r，依题意圆心到直线l的距离223342132aada，即2225532aa，解得1332a，即13,32a；故答案为：13,326.（2022·江苏·盐城中学模拟预测）直线5πcossin0,0,6xy的斜率的取值范围为（）A．(,3)B．(2,)C．(3,3)D．(,2)【答案】A【分析】将直线的一般方程转化为直线的斜截式方程，根据的范围求出tan的范围，进而求出1tan范围即可求解.【详解】当cos0时，直线cossin0xy的斜率为0k，因为5π06，所以cos0时，3tan3或tan0，由cossin0,xy得cos1sintanyxx，当cos0即10tan时，直线cossin0xy的斜率为1tank.因为5π06，所以3tan3或tan0，即10tan或13tan.所以直线cossin0xy的斜率的取值范围为,00,3.综上所述，直线cossin0xy的斜率的取值范围为,3.故选：A.7．（2021·吉林油田高级中学高三开学考试）已知圆P的方程为22680xyxy，过点1,2M的直线与圆P交于A，B两点，则弦AB的最小值为（）A．217B．10C．22D．5【答案】A【分析】确定圆的圆心和半径，确定当ABPM时，AB最短，根据圆心距和圆的半径以及弦长的关系，即可求得答案.【详解】圆P的方程可化为223425xy，则(3,4),5Pr，因为22132425，故点1,2M在圆内，过点1,2M的最长弦一定是圆P的直径，当ABPM时，AB最短，此时22(31)(42)22PM，则222217ABrPM，故选：A．8．（2022·重庆一中高三模拟）若方程234xbxx有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（）A．(122,122)B．(122,1]C．[1,122)D．(122,3]【答案】B【分析】将234yxx化为22(2)(3)4xy(3y)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.【详解】解：由234yxx得22(2)(3)4xy(3y)，所以直线yxb与半圆22(2)(3)4xy(3y)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经yxb过点(4,3)时，341b，当直线与圆22(2)(3)4xy相切时，|23|211b，解得122b或122b（舍），由图可知，当直线yxb与曲线234yxx有2个公共点时，1221b，故选：B.9.（2022·全国·高三练习）已知点(,)Pmn是函数22yxx的图象上的动点，则4321mn的最小值为__________.【答案】20【分析】整理22yxx可得为半圆，再将4321mn转化为(,)Pmn到直线43210xy的距离的5倍，进而根据(,)Pmn到直线43210xy的距离的最小值求解即可.【详解】由22yxx整理得22(1)1(0)xyy，可知其图象是半圆，圆心为(1,0)C，半径为1r.又4324321515nmnm，其几何意义为点(,)Pmn到直线43210xy距离的5倍，故分析点(,)Pmn到直线43210xy距离的最小值即可.如图，作直线43210xy，点C到直线43210xy的距离224021543d，所以(,)Pmn到直线43210xy的距离的最小值为514，即43215mn的最小值为4，所以4321mn的最小值为5420.故答案为：2010．（2022·全国·高三专题练习）过直线0xym上动点P作圆2:(2)(3)1Mxy的一条切线，切点为A，若使得1PA的点P有两个，则实数m的取值范围为___________．【答案】3,1【分析】将使得1PA的点P有两个，转换为圆心M到直线0xym的距离的不等关系式求解即可【详解】由题，使得1PA的点P有两个，即使得2112PM的点P有两个，即圆心到直线的距离小于半径.又圆心M到直线0xym的距离22231211mmd，故122m，即212m，即3,1m故答案为：3,111.（2021·全国·高三专题练习）曲线133yx与过原点的直线l没有交点，则l的倾斜角的取值范围是A．20,,33UB．,33C．2,3D．0,3【答案】A【分析】作出曲线133yx的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线l在绕着原点旋转时，直线l与曲线133yx没有交点时，直线l的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.【详解】当0x，0y≥时，由133yx得133yx，该射线所在直线的倾斜角为3；当0x，0y≥时，由133yx得133yx，该射线所在直线的倾斜角为23；当0x，0y时，由133yx得133xy，该射线所在直线的倾斜角为3；当0x，0y时，由133yx得133xy，该射线所在直线的倾斜角为23.作出曲线133yx的图象如下图所示：由图象可知，要使得过原点的直线l与曲线133yx没有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是20,,33U，故选A.12．（2022·甘肃白银·三模（文））在平面直角坐标系xoy中，圆22:1Oxy，若曲线12ykx上存在四个点1,2,3,4iPi，过动点iP作圆O的两条切线，A，B为切点，满足32iiPAPB，则k的取值范围是（）．A．4,03B．4,3C．0,D．4(,)0,3【答案】B【分析】通过圆外一点圆的切线的性质，根据关系32iiPAPB，求出满足条件的点P的轨迹方程，分情况讨论此轨迹方程与曲线y=k|x−1|+2有四个交点，即满足题意．【详解】设iPOd，iAPO，则222231cos2112iiPAPBddd，整理得，22940dd，解得212d（舍去）或24d，所以点P的轨迹方程为224xy，若直线12ykx与224xy相切时，2221kk，解得43k或0k，当曲线12ykx与圆224xy有四个交点时，对应的k满足题意，当0k时，如图所示，二者一个交点，存在一个点P，不符合题意，当43k时，如下图所示，此时二者有三个交点，存在三个点P，不符合题意，当403k时，如图所示，二者有两个交点，存在两个点P，不符合题意，当0k时，如图所示，二者没有交点，不存在点P满足题意，当43k时，二者有四个交点，存在四个点P，满足题意，综上，4(,)3．故选：B．【点睛】本题综合考查了直线与圆的位置关系，通过向量数量积求动点的轨迹方程，以及在不同的情况下，折线函数与圆的交点个数问题，对数形结合、曲线作图要求很高，难度很大．13．（2021·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知圆C:x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是A．[143，2)B．[2143，22)C．[143，2]D．[2143，22]【答案】B【分析】根据点A在原点及在x轴极限远的特殊位置，求得PQ的取值范围．【详解】当A在坐标原点时，sin∠POC=23∴由22sincos=1POCPOC可得cos∠POC=73∴sin∠POQ=sin2∠POC=2sin∠POCcos∠POC=2149即∴sin∠PCQ=2149∴cos∠PCQ=59此时222cosPQCPCQCPCQPCQ5214222293当点A在x轴上无限远时，PQ值接近直径22所以PQ的取值范围为[2143，22)所以选B【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的综合应用，结合余弦定理求得最值，注意极限位置的用法，属于难题．14．（2021·全国·高三专题练习）已知点P（0，2），圆O∶x2+y2=16上两点11(,)Mxy，22(,)Nxy满足(R)MPPN，则1122|3425||3425|xyxy的最小值为___________.【答案】48【分析】将原式化为1122|3425||3425|555xyxy，而1122|3425||3425|,55xyxy分别表示,MN到直线:34250lxy的距离，取MN的中点T，设T在直线:34250lxy的射影为1T，则原式=110||TT，根据圆的性质可以知道T在以OP为直径的圆C上，