考点8-2 椭圆及其性质(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点8-2椭圆及其性质1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，12,AA分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA，则C的方程为（）A．2211816xyB．22198xy+=C．22132xyD．2212xy【答案】B【分析】根据离心率及12=1BABA，解得关于22,ab的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113cbeaa，解得2289ba，2289ba，12,AA分别为C的左右顶点，则12,0,,0AaAa，B为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)BAabBAab，因为121BABA所以221ab，将2289ba代入，解得229,8ab，故椭圆的方程为22198xy+=.故选：B.2．（2019·福建·高考模拟（文））设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于A．B．或2C．2D．【答案】A【详解】试题分析：根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选A点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．3．（2020·浙江·高考模拟（文））如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点.若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A．3B．2C．3D．2【答案】B【详解】MN，是双曲线的两顶点，MON，，将椭圆长轴四等分椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B4.（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，||6DE，则ADE的周长是________________．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，根据离心率得到直线2AF的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120xyc，整理化简得到：22136390ycyc，利用弦长公式求得138c，得1324ac，根据对称性将ADE的周长转化为2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a.【详解】∵椭圆的离心率为12cea，∴2ac，∴22223bacc，∴椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，∵222AFaOFcac，，，∴23AFO，∴12AFF△为正三角形，∵过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，DE为线段2AF的垂直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120xyc，整理化简得到：22136390ycyc，判别式2222634139616ccc，∴212Δ13226461313cDEyy，∴138c，得1324ac，∵DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF，，∴ADE的周长等于2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到2FDE△周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa.故答案为：13.5．（2021·福建·高考模拟（理））椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____【答案】31【详解】注意到直线过点(,0)c即为左焦点1F，又斜率为3，所以倾斜角为060，即01260MFF．又故02130MFF，那么02190FMF．01121·cos602?2MFFFcc，02123·sin602?32MFFFcc，122223123ccceaMFMFcc．【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征．属于难题．6.（2022·全国·高三练习）已知椭圆C：222210xyabab的左、右焦点分别为1,0Fc，2,0Fc，点M在椭圆C上，若12MFcaMF，则该椭圆的离心率不可能是（）A．14B．12C．35D．33【答案】A【分析】设1MFx，则22MFax，代入12MFcaMF中，可得2acxac，再利用acxac，即可求出离心率的取值范围，从而可判断出离心率不可能的值【详解】设1MFx．因为点M在椭圆C上，所以122MFMFa，所以22MFax．因为12MFcaMF，所以2cxaax，解得2acxac．由题意可知acxac，即2acacacac．由2acacac，可得22acac，即220ac，显然成立．由2acacac，可得222acac，则212ee．又01e，所以211e，因为121,14，121,12，321,15，321,13，故选：A．7．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆：22221(0)xyabab的两个焦点为1F，2F，过2F的直线与交于A，B两点.若223AFFB，12ABAF，则的离心率为（）A．15B．55C．105D．155【答案】C【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将2AF,1,,ABAF1BF用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【详解】设2FBm,则23AFm,124ABAFm.由椭圆的定义可知1225BFBFam,所以25ma,所以265AFa,145AFa.在△ABF1中,22222211118481555cos8424255aaaABAFBFAaaABAF.所以在△AF1F2中,2221212122cosFFAFAFAFAFA,即22224441425554aaac整理可得：22225cea,所以105e故选：C8．（2022·北京市十一学校高三模拟）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左､右顶点分别为1A，2A，且以线段12AA为直径的圆与直线20bxayab相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．60,3B．6,13C．2,13D．20,3.【答案】B【分析】由题设以线段12AA为直径的圆为222xya，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设，以线段12AA为直径的圆为222xya，与直线20bxayab相交，所以222abaab，可得222233()baca，即223e，又01e，所以613e.故选：B9.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFBC，，，分别为椭圆的上、下顶点，直线2BF与椭圆的另一个交点为D，若127cos25FBF，则直线CD的斜率为___.【答案】1225【分析】由127cos25FBF，可得2cosOBF的值，即可求出ba的值，设,Dmn，可得22221nmba，从而可得22BDCDnbnbbkkmma，进而由BDbkc，可求出CDk.【详解】由题意，22212cos7o251csOBFFFB，解得24cos5OBF，因为222222BFOBOFbca，所以2cosbOBFa，故45ba.设,Dmn，则22221mnab，即22221nmba，则222222222216251BDCDmkbbnbnbnbbkmmmmaa，因为24cos5OBF，所以24tan3OFB，所以43BDk，故1625124253CDk.故答案为：122510．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：2222xyab1(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，点1111,,PxyQxy，－在椭圆C上，其中1100xy，，若22PQOF，|11QFPF|33，则椭圆C的离心率的取值范围为_____．【答案】(22，31]【分析】设12PFnPFm，，由已知得到mn的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.【详解】设12PFnPFm，，由1100xy，，知mn，因为P，Q在椭圆C上，22PQOF，所以四边形12PFQF为矩形，12QFPF；由1133QFPF，可得33mn1，由椭圆的定义可得2mna，2224nmc①，平方相减可得222mnac－②，由①②得2222242cmnmnmnnmac；令tmnnm，令313mvn，，所以14323tvv，，即222443232cac，所以22222233accac－－，所以22223113eee－－，所以214232e，解得2312e.故答案为：2312，.11.（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，经过1F的直线交椭圆于A，B，2ABF的内切圆的圆心为I，若23450IBIAIF，则该椭圆的离心率是（）A．55B．23C．34D．12【答案】A【分析】对23450IBIAIF变形得到2351882IBIFIA，进而得到以22::3:4:5AFBFAB，结合椭圆定义可求出2AFa，245,33BFaABa，1AFa，由余弦定理求解,ac关系式，求出离心率.【详解】因为23450IBIAIF，所以2351882IBIFIA，如图，在2BF上取一点M，使得2:5:3BMMF，连接IM，则12IMIA，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以22::3:4:5IAFIBFIBASSS，所以22::3:4:5AFBFAB，设23AFx，则24,5BFxABx，由椭圆定义可知：224AFBFABa，即124xa，所以3ax，所以2AFa，245,33BFaABa，1AFa故点A与上顶点重合，在2ABF中，由余弦定理得：222222222222516399cos52523aaaABFAFBBAFABFAa，在12AFF△中，2222243cos25aacBAFa，解得：55ca，所以椭圆离心率为55.故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,abc的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450IBIAIF进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF三边关系，求出离心率.12．（2021·江苏省天一中学高三预测）如图，设1F、2F分别是椭圆