考点8-3 双曲线及其性质(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点8-3双曲线及其性质1．（2021·全国·高考真题（文））点3,0到双曲线221169xy的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．45【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169xy，即340xy，结合对称性，不妨考虑点3,0到直线340xy的距离：9095916d.故选：A.2．（2021·山东·高三开学考试）已知1 F，2F分别为双曲线2222:1xyCab（0,0ab）的左、右焦点，A，B是C右支上的两点，且直线AB经过点2F．若222AFBF，以12FF为直径的圆经过点B，则C的离心率为（）A．173B．2C．5D．152【答案】A【分析】由以12FF为直径的圆经过点B得1290FBF，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.【详解】由题意得1290FBF，设2BFm，则12BFma，22AFm，122AFma，||3ABm，在1RtABF中，由勾股定理得2222322mamma，解得23ma，则223BFa，183BFa，在12RtFBF中，由勾股定理得22228233aac，化简得22179ca，所以C的离心率173cea，故选：A.3．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线2222:1xyCab（0a，0b）的左右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，12FPF的平分线与x轴交于Q，若214OQOF，则双曲线的离心率范围为（）A．1,2B．1,4C．2,2D．2,4【答案】B【分析】根据角平分线的性质得出15PFa，23PFa，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为0cc＞，离心率为e，由214OQOF，则154QFc，234QFc，因为PQ是12FPF的平分线，所以12:5:3PFPF,又因为122PFPFa，所以125,3PFaPFa，所以53222aacac，解得14ca，即14e，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4).故选：B4.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430xyy相切，则m_________．【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线22210xymm的渐近线为yxm，即0xmy，不妨取0xmy，圆22430xyy，即2221xy，所以圆心为0,2，半径1r，依题意圆心0,2到渐近线0xmy的距离2211mdm，解得33m或33m（舍去）．故答案为：33．5．（2022·河南开封·高三模拟（理））已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若225AFFB，则双曲线C的离心率e为______．【答案】153【分析】联立直线方程可得点A，B的坐标，结合225AFFB，可得22ba，进而可得离心率.【详解】由题意，双曲线C的渐近线为byxa，若过2F的直线l与直线byxa垂直，垂足为A，直线l与直线byxa交于B，2,0Fc，因为225AFFB，所以2F在A，B之间，如图所示，直线l的方程为ayxcb，由ayxcbbyxa，得22222,acabcAabab，由ayxcbbyxa，得22222,acabcBabab，由225AFFB，可得22225abcabcabab，所以222251abab，所以2223ba，所以双曲线C的离心率222151133bea．同理，过2F的直线l与直线byxa垂直时，双曲线C的离心率153e．综上所述，双曲线C的离心率e为153，故答案为：153.6.（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线21:20Cypxp与双曲线22222:10,0xyCabab有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交1C于A，B两点，与2C在第一象限内的交点为M，若,OMmOAnOBmnR，18mn，则双曲线2C的离心率为（）A．513B．512C．622D．6223【答案】C【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.【详解】因为抛物线21:20Cypxp的焦点(,0)2pF，由题可知，2pc，即抛物线方程为24ycx，令xc代入抛物线方程24ycx，可得2yc，代入双曲线方程22221xyab，可得2bya，可设(,2)Acc，(,2)Bcc，2(,)bMca，由,OMmOAnOBmnR有21?    2mnbmnac两边平方相减可得，2241()2bmnac，由18mn有：22bac，又222bca即2220caac，由cea有：2120ee由1e，解得622e.故A，B，D错误.故选：C.7．（2022·新疆·三模（理））已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F且斜率为37的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为2AF的中点，且120MFMF，则双曲线C的渐近线方程是（）A．3yxB．33yxC．125yxD．512yx【答案】A【分析】依题意可得12tan37AFF，即可求出12cosAFF，再由12MFMF，即可得到1122AFFFc，由余弦定理求出2AF，即可得到2ac，再根据222cab，即可得到a、b的关系，即可得解；【详解】解：由137AFk，即12tan37AFF，又121212sintancosAFFAFFAFF，且221212sincos1AFFAFF，解得121cos8AFF或121cos8AFF（舍去），由12MFMF且M为2AF的中点，知1122AFFFc，∴2222214422298AFccccc，∴23AFc，∴212aAFAFc，又222cab，∴3ba，∴渐近线方程为3yx.故选：A8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，已知1F，2F分别为双曲线C：222210,0xyabab的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足24FPa，11220FPFFFP，线段2FP与C交于点Q，若222FPFQ，则C的离心率为（）A．6B．5C．2D．3【答案】B【分析】由题意可得Q为线段2FP的中点；由1122()0FPFFFP得12FQFP，结合双曲线定义求得1||QF，利用勾股定理可得2221212||||||QFQFFF，即得a,c的关系式，求得答案.【详解】如图，因为222FPFQ，所以Q为线段2FP的中点；由于1122()0FPFFFP，即1220FFQP,所以12FQFP，所以12PFF△为等腰三角形，且有112||||2.FPFFc连接1FQ，又2||2FQa，点Q在双曲线C上，由双曲线的定义，可得12||||2QFQFa，故1||224QFaaa;所以在12RtFQF△中，有2221212||||||QFQFFF，即222(4)(2)(2)aac，整理得225ac，所以离心率5cea，故选:B．9.（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足120AFB，且2BFAF，则双曲线C的离心率是________．【答案】3【分析】连接AF，BF，结合双曲线定义及余弦定理解三角形，可得离心率.【详解】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由条件可得22BFAFAFAFAFAFa，则2AFa，4BFa，60FAF，所以2222cosFFAFAFAFAFFAF，即222214164162caaa，即22412ca，3ca所以双曲线的离心率为：3cea，故答案为3.10．（2021·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，右顶点为A，以坐标原点O为圆心，过点A的圆与双曲线C的一条渐近线交于位于第一象限的点P，若直线PF的斜率为3，则双曲线C的渐近线方程为________．【答案】13yx【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到P的坐标，利用,PF的坐标求出直线PF的斜率，得到3ab，继而求出双曲线的渐近线方程【详解】解：由题意得圆的方程为222xya，双曲线经过第一象限的渐近线方程为byxa，联立方程222xyabyxa，解得点P的坐标为2,aabcc，有2PFabackabcc，又由直线PF的斜率为3，可得3ab，有13ba，故双曲线C的渐近线方程为13yx．故答案为：13yx11.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,FF分别为双曲线22:1412xyC的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过2F的直线与双曲线C的右支交于,AB两点（其中点A在第一象限），设,MN分别为1212,AFFBFF的内心，则MENE的取值范围是（）A．4343,,33B．4343,33C．3333,55D．55,33【答案】B【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有22,22EFMEFN，将MENE表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AFAFFF上的切点分别为H､I､J，则1122||||,,AHAIFHFJFJFI.由122AFAFa，得12||||2AHHFAIIFa，∴122HFIFa，即122JFJFa.设内心M的横坐标为0x，由JMx轴得点J的横坐标也为0x，则002cxcxa，得0xa，则E为直线JM与x轴的交点，即J与E重合.同理可得12BFF△的内心在直线JM上，设直线AB的领斜角为，则22,22EFMEFN，||||()tan()tan22MENEcacacossin2cos222()()()sintansincos22cacaca，当2时，||||0MENE；当2时，由题知，2,4,3baca，因为A，B两点在双曲线的右支上，∴233，且2，所以tan3或tan3，∴3133tan3且10tan，∴44343||||,00,tan33MENE，综上所述，44343||||,tan33MENE.故选：B.12．（2022·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线2