考点8-5 圆锥曲线综合应用(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点8-5圆锥曲线综合应用1．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B，P是双曲线22221xyab（0a，0b）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（）A．52B．62C．2D．213【答案】D【分析】设11,Axy，22,Pxy，根据对称性，知11,Bxy，然后表示出PAPBkk，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得2243PAPBbkka，化简可求出离心率【详解】设11,Axy，22,Pxy，根据对称性，知11,Bxy，所以2221212122212121PAPByyyyyykkxxxxxx．因为点A，P在双曲线上，所以22112222222211xyabxyab，两式相减，得2222212122xxyyab，所以2222122221yybaxx所以2243PAPBbkka，所以222273abea，所以213e．故选：D2．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4nCmxymn的一个焦点坐标为(1,0)，当mn取最小值时，C的离心率为（）A．52B．3C．2D．2【答案】B【分析】根据双曲线的标准方程可得22214,,1abcmn，根据,,abc的关系可得141mn，由基本不等式的求解即可得26nm，进而2311am，即可求离心率.【详解】由22:1(0,0)4nCmxymn可得22114xymn，所以22214,,1abcmn，故可得141mn，所以(4144)5529nmnmmnmnmnmnmn…，当且仅当4nmmn，即26nm时等号成立，所以2311am，33a，又1c，所以3cea，故选：B．3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足52ba，且与椭圆221123xy有公共焦点，则双曲线C的方程为（）A．22145xyB．221810xyC．22154xyD．22143xy【答案】A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,ab的值，即可求解.【详解】由椭圆的标准方程为221123xy，可得21239c，即3c，因为双曲线C的焦点与椭圆221123xy的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距3c，又因为双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足52ba，即52ba，又由222abc，即22529aa，解得24a，可得25b，所以双曲线C的方程为22145xy.故选：A．4.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在C上，已知点A的横坐标为2，22AF，则AKF的面积AKFS___________.【答案】4【分析】先由抛物线的定义得点K的横坐标为2，进而求得AFx轴，再计算AKF的面积即可.【详解】如图，作AAl于A，由抛物线定义知22AAAF，又点A的横坐标为2，则点K的横坐标为2，点F的横坐标为2，则AFx轴，则1222242AKFS.故答案为：4.5．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222Γ:1(0,0)xyabab的实轴为12AA，对于实轴12AA上的任意点P，在实轴12AA上都存在点Q，使得3PQb，则双曲线的两条渐近线夹角的最大值为___________；【答案】π3【分析】通过分析得到3ab，设渐近线与x轴的夹角为，则3tan3，求出π6，从而求出双曲线的两条渐近线夹角的最大值.【详解】对于实轴12AA上的任意点P，在实轴12AA上都存在点Q，使得3PQb，当点P位于原点时，则要3ab，才能满足要求，所以33ba，设渐近线与x轴的夹角为，则3tan3，因为π6，则双曲线的两条渐近线夹角为π23，故答案为：π36.（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知点F为抛物线C：22ypx（0p）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（）A．MKF的范围决定了点M的个数B．不存在使得π3MKF的点MC．使得π4MKF的点M有且仅有2个D．使得π12MKF的点M有且仅有2个【答案】D【分析】问题可转化为过点,02p作抛物线的切线,求出切线斜率,即可得到MKF的最大值,结合抛物线的图像,问题即可解决.【详解】设焦点为,02pF,则,02pK设过点K抛物线的切线方程为:P2ykx代入22ypx后整理得22222204kpkxkppx因为相切,故222222404kpkppk化简得21k,解得1k,所以MKF的最大值为4,做出图像:显然当M在切点位置时,MKF最大为4,此时点M有两个（x轴上下各有一个,位置①）;当0,4MKF时,点M有四个（x轴上下各有两个,位置②;当0MKF时,M点即为原点O,只有一个,故ABC选项的命题正确,D选项错误.故选：D7．（2022·河南·高三开学考试（文））在正方体1111ABCDABCD中，E为11AD的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为60．若该正方体外接球的表面积为12π，则动点F的轨迹长度为（）．A．43π9B．33πC．23π3D．43π3【答案】A【分析】取AD的中点H，连接EH，判断出EFH为EF与底面ABCD所成的角，即60EFH．设正方体的棱长为a，利用外接球的表面积求出2a.判断出F的轨迹为以H为圆心，23为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.【详解】如图1，取AD的中点H，连接EH，则1//EHAA.在正方体1111ABCDABCD中，1AA底面ABCD，所以EH底面ABCD.所以EFH为EF与底面ABCD所成的角，则60EFH．设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为12π，所以22234π3π12π2aa，解得2a，所以12EHAAa，从而23HF，所以F的轨迹为以H为圆心，23为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2．在图2中，23HGHM，所以3cos2AHAHGHG，则π6AHG，根据对称性可知π6DHM，所以π2ππ263MHG，故动点F的轨迹周长为2π243π393．故选：A8．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）已知第一象限内的点M既在双曲线22122:1(0,0)xyCabab的渐近线上，又在抛物线22:2(0)Cypxp上，设1C的左、右焦点分别为1F、2F，若2C的焦点为2F，且12MFF△是以1MF为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A．2B．5C．12D．23【答案】B【分析】由题意可得抛物线的准线方程为：xc，过M作MA垂直准线xc，利用抛物线的定义得到212MAMFFF，则四边形21AMFF是正方形，从而12MFF△是等腰直角三角形，然后结合图形和离心率公式即可求解.【详解】因为1C的左、右焦点分别为1F、2F，2C的焦点为2F，所以抛物线的准线方程为：xc，又因为12MFF△是以1MF为底边的等腰三角形，过M作MA垂直准线xc，如图所示：则212MAMFFF，所以四边形21AMFF是正方形，则12MFF△是等腰直角三角形，所以2122MAMFFFc，2OFc，2222tan2=MFcbMOFOFca，221+5bea.故选：B9.（2022·广东·高三开学考试）已知双曲线22:143xyC，1F、2F是双曲线C的左、右焦点，M是双曲线C右支上一点，l是12FMF的平分线，过2F作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为_______．【答案】224(0)xyx【分析】延长2FP，交1FM于Q，可证得2MPFMPQ≌△△，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点P的轨迹方程.【详解】延长2FP，交1FM于Q，因为2PMFPMQ，2MPFMPQ，MPMP，所以2MPFMPQ≌△△，所以2MFMQ，所以1112QFMFMQMFMF，因为M是双曲线C右支上一点，所以124QFa，又因为P是2QF的中点，O是12FF的中点，所以1122POQF，所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，所以点P的轨迹方程为224(0)xyx．故答案为：224(0)xyx.10．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B是椭圆2222:1xyCab和双曲线22221(0)xyabab的左右顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足()(R,||1)PAPBQAQB，设直线PA、PB、QA、QB的斜率分别为1k、2k、3k、4k，则1234kkkk_________．【答案】0【分析】依题意可得OPOQ，即点P，Q，O三点共线，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，即可得到12kk与34kk，从而得解.【详解】解：依题意A、B为椭圆22221xyab和双曲线22221(0)1xyabab的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，由()(RPAPBQAQB，||1)，即22POQO，可得OPOQ，则点P，Q，O三点共线．设11(,)Pxy，22(,)Qxy，则211111111222222111112222yyxyxyxbkkaxaxaxaayyb，同理可得2234222xbkkay，OPOQ，12xx，12yy，1212xxyy，212123421220xxbkkkkayy．11.（2022·上海黄浦·二模）将曲线221169xy(0x≥)与曲线22179xy(0x≤)合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于,AB两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（）．A．①②均正确B．①②均错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确【答案】C【分析】对①，分析当0k时点P的轨迹总落在某个椭圆上即可；对②，设1122,,,AxyBxy，12xx，00,Pxy，则121200,22xxyyxy，利用点差法，化简可得222101291672xxykxx，故若存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上则0000ykxkR为常数，再化简分析推出无解即可【详解】设1122,,,AxyBxy，12xx，00,Pxy，则121200,22xxyyxy.对①，当0k时，2211179xy，22221169xy，易得12yy，故两式相减有22210167xx，易得此时120xx，故1274xx，所以220017,42xxyxy，即0220847,xxyy.代入22221169xy可得20208471169xy，所以2200219474xy，故存在0k，使得点P的轨迹总落在椭圆22219474xy上.故①正确；对②，00,Pxy，121200,22xxyyxy