考向03复数【2022年全国甲卷】1.若13iz,则1zzz()A.13iB.13iC.13i33D.13i33【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)134.zzz13i13i1333zzz.故选:C【2022年全国甲卷】2.已知12zi,且0zazb,其中a,b为实数,则()A.1,2abB.1,2abC.1,2abD.1,2ab【答案】A【解析】12i(12i)(1)(22)izazbababa由0zazb,得10220aba,即12ab.故选:A【2022年新高考1卷】3.2.若i(1)1z,则zz()A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】由题设有21i1iiiz,故1+iz,故1i1i2zz,故选:D【2022年新高考2卷】4.2.(22i)(12i)()A.24iB.24iC.62iD.62i【答案】D【解析】22i12i244i2i62i,故选:D.【2022年浙江卷】2.已知,,3i(i)iababR(i为虚数单位),则()A.1,3abB.1,3abC.1,3abD.1,3ab【答案】B【解析】3i1iab,而,ab为实数,故1,3ab,故选:B.【2022年北京卷】2.若复数z满足i34iz,则z()A.1B.5C.7D.25【答案】B【解析】由题意有34ii34i43iiiiz,故223|54|z.故选:B.每年1题,稳得不得了,考查四则运算为主,偶尔与其他知识交汇,难度较小.考查代数运算的同时,主要涉及考查概念有:实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算时可以先设z=a+bi几个重要的结论1.2222121212||||2(||||)zzzzzz2.22||||zzzz3.若z为虚数,则22||zz4.关于虚数单位i的一些固定结论:(1)21i(2)3ii(3)41i(2)2340nnnniiii易错题【01】对服饰的相关概念理解不清易错题【02】对复数的模的定义理解不透易错题【03】复数相等的条件应用出错易错题【04】复数的模与绝对值混淆1.已知,abR,i是虚数单位,若ai与2bi互为共轭复数,则ab()A.0B.1C.2D.32.已知复数z满足21izi,则z()A.132iB.132iC.32iD.32i3.已知复数212izi,则复数z在复平面内对应的点的坐标为()A.0,1B.0,1C.1,1D.1,04.设i是虚数单位,则2(1)ii等于()A.0B.4C.2D.25.若z为纯虚数,且2z,则11z()A.1255iB.1255iC.2155iD.2155i6.已知2(1)(1)zmmi为纯虚数,则实数m的值为()A.1B.-1C.11或D.-1或0一、单选题1.(2022·辽宁·育明高中一模)若复数53i的实部与虚部分别为a,b,则点A(b,a)必在下列哪个函数的图象上()A.2xyB.y=12xxC.yxD.221yx2.(2021·云南昆明·三模(理))给出下列三个结论:①若复数2()zaaaiaR是纯虚数,则1a②若复数21izi,则复数z在复平面内对应的点在第二象限③若复数z满足||1z,则z在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.33.(2022·全国·河源市河源中学模拟预测)已知a为正整数,且42i25a,则a=()A.1B.2C.3D.44.(2022·江西南昌·三模(理))若复数z的实部和虚部均为整数,则称复数z为高斯整数,关于高斯整数,有下列命题:①整数都是高斯整数;②两个高斯整数的乘积也是高斯整数;③模为3的非纯虚数可能是高斯整数;④只存在有限个非零高斯整数z,使1z也是高斯整数其中正确的命题有()A.①②④B.①②③C.①②D.②③④5.(2022·浙江绍兴·模拟预测)人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展,从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时,首先引进了2i1,17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”,用i(R)abab、表示复数,并在直角坐标系上建立了“复平面”.若复数z满足方程2250zz,则z()A.12iB.2iC.12iD.2i二、多选题6.(2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测)已知123zi,2zmimR,则下列说法正确的有()A.若12zz为实数,则23m;B.12zz的共轭复数是2332mmi;C.12zz的最小值是4;D.满足11zz的复数z在复平面上的对应点Z的集合是以2,3为圆心,以1为半径的圆.7.(2021·重庆八中模拟预测)设复数z的共辄复数为z,i为虚数单位,则下列命题正确的是()A.若0zz,则0zB.若zzR,则zRC.若2cosisin55ππz,则1zD.若i1z,则z的最大值为28.(2021·江苏泰州·模拟预测)设z为复数,在复平面内z、z对应的点分别为P、Q,坐标原点为O,则下列命题中正确的有()A.当z为纯虚数时,,,POQ三点共线B.当1zi时,POQ△为等腰直角三角形C.对任意复数z,OPOQD.当z为实数时,OPOQ9.(2022·江苏苏州·模拟预测)下列命题正确的是()A.若A,B,C为任意集合,则ABCABCB.若a,b,c为任意向量,则abcabcC.若1Z,2Z,3Z为任意复数,则113123ZZZZZZD.若A,B,C为任意事件,则PABCPACPBC三、填空题10.(2022·浙江·三模)中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式,平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差.若复数53i,43iab(i为虚数单位),则22ab__________.1.(2021年新高考1卷)已知2iz,则(i)zzA.62iB.42iC.62iD.42i2.(2021年新高考2卷)(22i)(12i)()A.24iB.24iC.62iD.62i3.(2021年高考全国甲卷理科)已知2(1)32izi,则z()A.312iB.312iC.32iD.32i4.(2021年高考全国乙卷理科)设2346zzzzi,则z()A.12iB.12iC.1iD.1i5.(2021年高考浙江卷)已知aR,1ii3ia(i为虚数单位),则a().A.1B.1C.3D.36.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若z=1+i,则|z2–2z|=()A.0B.1C.2D.27.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)复数113i的虚部是()A.310B.110C.110D.3108.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)若(1i)2iz,则z()A.1iB.1+iC.1iD.1+i9.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设32zi,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数z满足i1z,z在复平面内对应的点为(,)xy,则()A.22(1)1xyB.22(1)1xyC.22(1)1xyD.22(1)1xy11.(2021年上海卷)已知121i,23izz,12zz.12.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设复数1z,2z满足12||=||=2zz,123izz,则12||zz=__________.1.【答案】D【解析】选D,由题意a=2,b=1,所以a+b=3.2.【答案】A【解析】选A,21+3=12iizi.3.【答案】D【解析】选D,2=112izi,所以对应点坐标为(-1,0).4.【答案】D【解析】选D,2(1)12iii5.【答案】A【解析】选A.由题意可知z=±2i,111212255izi6.【答案】A【解析】选A.由题意有210,10mm,所以m=1.一、单选题1.【答案】D【解析】因为53i=53i3i3i=-32+12i,所以a=-32,b=12,所以A13(,)22,把点A的坐标分别代入选项,只有D选项满足.故选:D.2.【答案】C【解析】①因为复数2()zaaaiaR是纯虚数,则200aaa,解得1a,故正确;②复数2121111iiiziiii,则复数z在复平面内对应的点在第一象限,故错误;③因为复数z满足||1z,所以z在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心,以1为半径的是圆,故正确;所以正确结论的个数是2个,故选:C3.【答案】A【解析】因为22i4aa,所以4422i425aa,即245a,21a,a为正整数,所以1a,故选:A4.【答案】A【解析】①令i(a,bZ)zab,当0b时,za,即z为整数,根据题意,z是高斯整数,故①正确;②令1i(a,bZ)zab,2i(c,dZ)zcd,则12izzacbdadbc,则acbd为整数,adbc为整数,故12zz为高斯整数,故②正确;③令i(a0,b0)zab,且3z,故229ab,所以,ab至少有一个数为非整数,故z不是高斯整数,③错误;④令1i(a,bZ)zab,且0z,则22222211iiiababzabababab,若1z为高斯整数,故2222,ababab为整数,即存在有限个,例如iz,故④正确.故选:A.5.【答案】C【解析】设i(,R)zabab,因2250zz,则2(i)2(i)50abab,即22(25)2(1)i0ababa,而,Rab,则222502(1)0ababa,解得12ab,所以12iz.故选:C二、多选题6.【答案】AC【解析】1222223(23)()2(23)3(23)(23)=()()1ziimimmimmizmimimimim12zz为实数,230m,23m,故A正确;12(23)()(23)(32)zzimimmi,其共轭复数为2332mmi,故B错误;12(2)4zzmi表示点(2,4)m到原点的距离,212minmin(2)16zzm,当2m时,取最小值为4,故C正确;设,,zxyixyR,由11zz得(2)(3)1xyi,即222(2)(3)1xy,对应点Z的集合是以2,3为圆心,以1为半径的圆,故D错误;故选:AC7.【答案】ABD【解析】若0zz,即20z,0z,则0z,A正确;若zzR,即z的虚部为0,则zR,B正确;若2cosisin55ππz,则222cossin155πzπ,C错误;若i1z,设izxy(,xyR),即2211xy,则z表示圆上的点到原点的距离,其最大值为2,D正确,故