考向03 复数 （重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向03复数【2022年全国甲卷】1.若13iz，则1zzz（）A.13iB.13iC.13i33D.13i33【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)134.zzz13i13i1333zzz.故选：C【2022年全国甲卷】2.已知12zi，且0zazb，其中a，b为实数，则（）A.1,2abB.1,2abC.1,2abD.1,2ab【答案】A【解析】12i(12i)(1)(22)izazbababa由0zazb,得10220aba,即12ab.故选:A【2022年新高考1卷】3.2.若i(1)1z，则zz（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】由题设有21i1iiiz，故1+iz，故1i1i2zz，故选：D【2022年新高考2卷】4.2.(22i)(12i)（）A.24iB.24iC.62iD.62i【答案】D【解析】22i12i244i2i62i，故选：D.【2022年浙江卷】2.已知,,3i(i)iababR（i为虚数单位），则（）A.1,3abB.1,3abC.1,3abD.1,3ab【答案】B【解析】3i1iab，而,ab为实数，故1,3ab，故选：B.【2022年北京卷】2.若复数z满足i34iz，则z（）A.1B.5C.7D.25【答案】B【解析】由题意有34ii34i43iiiiz，故223|54|z．故选：B．每年1题，稳得不得了，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算时可以先设z=a+bi几个重要的结论1.2222121212||||2(||||)zzzzzz2.22||||zzzz3.若z为虚数,则22||zz4.关于虚数单位i的一些固定结论：（1）21i（2）3ii（3）41i（2）2340nnnniiii易错题【01】对服饰的相关概念理解不清易错题【02】对复数的模的定义理解不透易错题【03】复数相等的条件应用出错易错题【04】复数的模与绝对值混淆1．已知,abR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则ab（）A．0B．1C．2D．3【解析】选D,由题意a=2,b=1,所以a+b=3.2．已知复数z满足21izi，则z（）A．132iB．132iC．32iD．32i【解析】选A，21+3=12iizi.3．已知复数212izi，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．0,1B．0,1C．1,1D．1,0【解析】选D，2=112izi，所以对应点坐标为（-1,0）.4．设i是虚数单位，则2(1)ii等于（）A．0B．4C．2D．2【解析】选D,2(1)12iii5．若z为纯虚数，且2z，则11z（）A．1255iB．1255iC．2155iD．2155i【解析】选A.由题意可知z=±2i,111212255izi6．已知2(1)(1)zmmi为纯虚数，则实数m的值为（）A．1B．-1C．11或D．-1或0【解析】选A.由题意有210,10mm，所以m=1.一、单选题1．（2022·辽宁·育明高中一模）若复数53i的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（）A．2xyB．y＝12xxC．yxD．221yx【答案】D【解析】因为53i＝53i3i3i＝－32＋12i，所以a＝－32，b＝12，所以A13(,)22，把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.故选：D.2．（2021·云南昆明·三模（理））给出下列三个结论：①若复数2()zaaaiaR是纯虚数，则1a②若复数21izi，则复数z在复平面内对应的点在第二象限③若复数z满足||1z，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】①因为复数2()zaaaiaR是纯虚数，则200aaa，解得1a，故正确；②复数2121111iiiziiii，则复数z在复平面内对应的点在第一象限，故错误；③因为复数z满足||1z，所以z在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；所以正确结论的个数是2个，故选：C3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知a为正整数，且42i25a，则a=（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因为22i4aa，所以4422i425aa，即245a，21a，a为正整数，所以1a，故选：A4．（2022·江西南昌·三模（理））若复数z的实部和虚部均为整数，则称复数z为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数z，使1z也是高斯整数其中正确的命题有（）A．①②④B．①②③C．①②D．②③④【答案】A【解析】①令i(a,bZ)zab，当0b时，za，即z为整数，根据题意，z是高斯整数，故①正确；②令1i(a,bZ)zab，2i(c,dZ)zcd，则12izzacbdadbc，则acbd为整数，adbc为整数，故12zz为高斯整数，故②正确；③令i(a0,b0)zab，且3z，故229ab，所以,ab至少有一个数为非整数，故z不是高斯整数，③错误；④令1i(a,bZ)zab，且0z，则22222211iiiababzabababab，若1z为高斯整数，故2222,ababab为整数，即存在有限个，例如iz，故④正确.故选：A.5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i1，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用i(R)abab、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程2250zz，则z（）A．12iB．2iC．12iD．2i【答案】C【解析】设i(,R)zabab，因2250zz，则2(i)2(i)50abab，即22(25)2(1)i0ababa，而,Rab，则222502(1)0ababa，解得12ab，所以12iz.故选：C二、多选题6．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）已知123zi，2zmimR，则下列说法正确的有（）A．若12zz为实数，则23m；B．12zz的共轭复数是2332mmi；C．12zz的最小值是4；D．满足11zz的复数z在复平面上的对应点Z的集合是以2,3为圆心，以1为半径的圆．【答案】AC【解析】1222223(23)()2(23)3(23)(23)=()()1ziimimmimmizmimimimim12zz为实数，230m，23m，故A正确；12(23)()(23)(32)zzimimmi，其共轭复数为2332mmi，故B错误；12(2)4zzmi表示点(2,4)m到原点的距离，212minmin(2)16zzm，当2m时，取最小值为4，故C正确；设,,zxyixyR，由11zz得(2)(3)1xyi，即222(2)(3)1xy，对应点Z的集合是以2,3为圆心，以1为半径的圆，故D错误；故选：AC7．（2021·重庆八中模拟预测）设复数z的共辄复数为z，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．若0zz，则0zB．若zzR，则zRC．若2cosisin55ππz，则1zD．若i1z，则z的最大值为2【答案】ABD【解析】若0zz，即20z，0z，则0z，A正确；若zzR，即z的虚部为0，则zR，B正确；若2cosisin55ππz，则222cossin155πzπ，C错误；若i1z，设izxy（,xyR），即2211xy，则z表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确，故选：ABD．8．（2021·江苏泰州·模拟预测）设z为复数，在复平面内z、z对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，,,POQ三点共线B．当1zi时，POQ△为等腰直角三角形C．对任意复数z，OPOQD．当z为实数时，OPOQ【答案】ABD【解析】设(,)zabiabR，则zabi，对A：当z为纯虚数时，0zbib，zbi对应的点分别为(0,)Pb、(0,)Qb，,,OPQ均在y轴上，所以,,POQ三点共线，故A正确；对B:当1zi时，1zi，所以(1,1)P，(1,1)Q，所以||||2OPOQ，而||2PQ，所以222||||||OPOQPQ，所以POQ△为等腰直角三角形，故B正确；对C：(,)OPab,(,)OQab,当0b时，OPOQ，故C错误；对D：当z为实数时，zza，此时(,0)OPOQa，故D正确.故选：ABD9．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（）A．若A，B，C为任意集合，则ABCABCB．若a，b，c为任意向量，则abcabcC．若1Z，2Z，3Z为任意复数，则113123ZZZZZZD．若A，B，C为任意事件，则PABCPACPBC【答案】AC【解析】对于A，集合运算有结合律，任意集合A，B，C都有()()ABCABC，故A正确；对于B，向量的数量积不满足结合律，即()()abcabc故B错误；，对于C，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数1Z，2Z，3Z，有113123ZZZZZZ，故C正确；对于D，若ABC，(())()()PABCPACPBC，故D错误.故选：AC.三、填空题10．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43iab（i为虚数单位），则22ab__________．【答案】96i【解析】2253i43i53i43i96iababab；故答案为：96i.1．(2021年新高考1卷)已知2iz，则(i)zzA．62iB．42iC．62iD．42i【答案】C【解析】2(i)(2i)(2ii)(2i)(22i)44i2i2i62izz，故答案选C．2.(2021年新高考2卷)(22i)(12i)（）A.24iB.24iC.62iD.62i【答案】D【解析】22i12i244i2i62i，故选：D.3．(2021年高考全国甲卷理科)已知2(1)32izi，则z(