考向06函数的奇偶性与周期性、对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（

考向06函数的奇偶性与周期性、对称性1.（2022年北京卷第4题）己知函数1()12xfx，则对任意实数x，有（）A.()()0fxfx-+=B.()()0fxfxC.()()1fxfxD.1()()3fxfx【答案】C【解析】1121112121212xxxxxfxfx，故A错误，C正确；11212121121212122121xxxxxxxxfxfx，不是常数，故BD错误；故选：C．2.（2022年新高考2卷第8题）若函数()fx的定义域为R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf，则221()kfk（）A.3B.2C.0D.1【答案】A【解析】因为fxyfxyfxfy，令1,0xy可得，2110fff，所以02f，令0x可得，2fyfyfy，即fyfy，所以函数fx为偶函数，令1y得，111fxfxfxffx，即有21fxfxfx，从而可知21fxfx，14fxfx，故24fxfx，即6fxfx，所以函数fx的一个周期为6．因为210121fff，321112fff，4221fff，5111fff，602ff，所以一个周期内的1260fff．由于22除以6余4，所以221123411213kfkffff．故选：A．3．（2022年甲卷理第5题）函数xyxxcos)33(在区间]2,2[的图像大致为【答案】A【解析】设xxfxxcos)33()(，)()cos()33()(xfxxfxx，所以)(xf为奇函数，排除BD，令1x，则01cos)33()1(1f，排除C，故选A.4．（2022年乙卷第12题）已知函数)(xf，)(xg的定义域均为R,且5)2()(xgxf，7)4()(xfxg.若)(xgy的图像关于直线2x对称，4)2(g，则221)(kkfA．21B．22C．23D．24【答案】D【解析】若)(xgy的图像关于直线2x对称，则)2()2(xgxg，因为5)2()(xgxf，所以5)2()(xgxf，故)()(xfxf，)(xf为偶函数.由4)2(g，5)2()0(gf，得1)0(f.由7)4()(xfxg，得7)2()2(xfxg，代入5)2()(xgxf，得2)2()(xfxf，)(xf关于点)1,1(中心对称，所以1)1()1(ff.由2)2()(xfxf，)()(xfxf，得2)2()(xfxf，所以2)4()2(xfxf，故)()4(xfxf，)(xf周期为4.由2)2()0(ff，得3)2(f，又1)1()1()3(fff，所以)4(5)3(5)2(6)1(6)(221ffffkfk24)3(615)1(11.1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(x2＋1－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．2.已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．3.函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0)．【易错点1】判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．【易错点2】函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．【易错点3】不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.1．函数f(x)＝x＋9x(x≠0)是()A．奇函数，且在(0，3)上是增函数B．奇函数，且在(0，3)上是减函数C．偶函数，且在(0，3)上是增函数D．偶函数，且在(0，3)上是减函数2.已知函数f(x)＝cos22x＋xx2＋1－1，若f(a)＝－13，则f(－a)＝()A．13B．23C．－13D．－533．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()A．y＝x＋f(x)B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x)D．y＝x2f(x)4.在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝x＋a，－1≤x0，|2－x|，0≤x1，其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝()A．0.5B．1.5C．2.5D．3.55．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x2B．y＝|x－1|C．y＝|x|－1D．y＝2x6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈［0，4］时，f(x)＝x2－4x，则f(2022)＝.7.已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，下列结论正确的是.(填序号)①f(x)的图象关于直线x＝2对称；②f(x)的图象关于点(2，0)对称；③f(x)的最小正周期为4；④y＝f(x＋4)为偶函数．一、单选题1．（2022·广东佛山·二模）设,,Rabc且0a，函数2(),()(2)()gxaxbxcfxxgx，若0fxfx，则下列判断正确的是（）A．()gx的最大值为-aB．()gx的最小值为-aC．22gxgxD．2gxgx2．（2022·广西桂林·二模）某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除（如公元2000年）或能被4整除而不能被100整除（如公元2012年）.闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日.狄更斯的出生日是（）A．星期五B．星期六C．星期天D．星期一3．（2022·云南昆明·模拟预测（理））对于函数elnxfxaxaR，有下列四个论断：①fx是增函数②fx是奇函数③fx有且仅有一个极值点④fx的最小值为e若其中恰有两个论断正确，则a（）A．1B．1C．eD．e二、多选题4．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数2lg100fxxx，212xgx，Fxfxgx，则（）A．fx的图象关于0,1对称B．gx的图象没有对称中心C．对任意的,0xaaa，Fx的最大值与最小值之和为4D．若3311Fxxx，则实数x的取值范围是,13,5．（2022·山东淄博·三模）已知定义在R上的偶函数fx，满足22fxfx，则下列结论正确的是（）A．fx的图象关于1x对称B．4fxfxC．若函数fx在区间0,1上单调递增，则fx在区间2021,2022上单调递增D．若函数fx在区间0,1上的解析式为ln1fxx，则fx在区间2,3上的解析式为ln11fxx6．（2022·辽宁丹东·一模）设0,1,0,1,aabbfx为函数xxfxab的导函数，已知fx为偶函数，则（）A．1f的最小值为2B．fx为奇函数C．fx在R内为增函数D．fx在0,内为增函数7．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的单调递增的函数fx满足：任意xR，有112fxfx，224fxfx，则（）A．当xZ时，fxxB．任意xR，fxfxC．存在非零实数T，使得任意xR，()()fxTfx+=D．存在非零实数c，使得任意xR，1fxcx8．（2022·全国·模拟预测）悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为coshxyaa（eecosh2xxaaxaaa，其中a为非零常数，e为自然对数的底数）．当a＝1时，记coshfxx，则下列说法正确的是（）A．2221fxfxB．fx是周期函数C．fx的导函数fx是奇函数D．fx在,0上单调递减三、填空题9．（2022·北京·北大附中三模）对于函数ln21xfxx和lnln21gxxx，给出下列四个结论：①设fx的定义域为M，gx的定义域为N，则N是M的真子集.②函数gx的图像在1x处的切线斜率为0.③函数fx的单调减区间是,0，1,2.④函数fx的图像关于点1,ln24对称.其中所有正确结论的序号是___________.10．（2022·山东潍坊·二模）已知定义在0,上的函数fx满足2fxfx，且当0,2x时，3,01,323,12,xxfxxxfx图像与x轴的交点从左至右为O，1B，2B，3B，…，nB，…；fx图像与直线3y的交点从左至右为1A，2A，3A，…，nA，…．若1C，2C，3C，…，10C为线段88AB上的10个不同的点，则1021iiOAOCuuuruuur______．1．(2021年高考全国乙卷理科)设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是()A．11fxB．11fxC．11fxD．11fx2．(2021年高考全国甲卷理科)设函数fx的定义域为R，1fx为奇函数，2fx为偶函数，当1,2x时，2()fx