考向07指数、对数函数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向07指数、对数函数1.【2022年天津卷第6题】化简33224839(2loglog)(loglog)的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】依题意3322273428188148398899899(2loglog)(loglog)(loglog)(loglog)logloglog22.【2022年浙江卷第7题】已知25a，8log3b，则34ab（）A．25B．5C．259D．259【答案】C【解析】将8log3b转化为指数，得到83b。再结合指数的运算性质，338223bbb，因此3325223aabb，所以32549ab，故本题选C．3.【2022年乙卷文科第16题】16．若1()ln||1fxabx是奇函数，则a_______，b__________.【答案】12a，ln2b【解析】因为()fx所以其定义域关于原点对称，故0a，由10110axx得111xax所以111a，所以12a，此时11()ln||21fxbx，其定义域为(,1)(1,1)(1,);又()fx是奇函数，故(0)0f，即1ln|1|ln202bb，所以ln2b,此时1()ln||1xfxx满足()()fxfx.4.【2022年北京卷第7题】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直制冰技术，为实现绿色东奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（A）当2201026TP,时，二氧化碳处于液态（B）当270128TP,时，二氧化碳处于气态（C）当3009987TP,时，二氧化碳处于超临界状态（D）当360729TP,时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】A选项：lglg10263220PT,,由图易知处于固态；B选项：lglg1282270PT,,由图易知处于液态；C选项：lglg99873.999300PT,,由图易知处于固态；D选项：lglg7292360PT,,由图易知处于超临界状态；所以选D5.【2022年天津卷第5题】10.70.73212,(),log3abc,比较,,abc的大小.()A．abcB．cbaC．cabD．acb【答案】B【解析】依题意10.700.70132211221,0()()1,loglog033abc,故abc6．【2022年甲卷文科第12题】已知910m，1011ma，89mb，则()A．0abB．0abC．0baD．0ba【答案】A【解析】由910m，可得9log10(11.5)m,．根据a，b的形式构造函数()1mfxxx(1x)，则1()1mfxmx，令()0fx，解得110mxm，由9log10(11.5)m,知0(0)x,．()fx在(1),上单调递增，所以(10)(8)ff，即ab，又因为9log10(9)9100f，所以0ab，答案选A．7．【2022年新高考1卷第7题】设0.10.1ea，19b，ln0.9c，则A．abcB．cbaC．cabD．acb【答案】C【解析】令exax，1xbx，ln(1)cx，①lnlnln[lnln(1)]abxxxx，ln(1),(0.0.1]yxxx；1'1011xyxx，所以0y„，所以lnln0ab„，所以ba②eln(1),(0,0.1]xacxxx，1(1)(1)e1'ee11xxxxxyxxx，令()(1)(1)1xkxxxe，所以2'()(12)e0xkxxx，所以()(0)0kxk，所以'0y，所以0ac，所以ac．8．【2022年新高考2卷第14题】写出曲线ln||yx过坐标原点的切线方程：，．【答案】exy，exy【解析】当0x时，点11(,ln)xx1(0)x上的切线为1111ln()yxxxx．若该切线经过原点，则1ln10x，解得ex，此时切线方程为exy．当0x时，点22(,ln())xx2(0)x上的切线为2221ln()()yxxxx．若该切线经过原点，则2ln()10x，解得ex，此时切线方程为exy．1.对数的运算首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数|的积、商、幂的运算1.求与指数函数、对数函数或幂函数相关的函数的定义域、值域或单调性相关问题的步骤。○1确定函数的定义域及复合函数的内外函数。○2讨论内外函数的单调性。○3得出复合函数的单调性，进一步得单调区间。2.比较指（对）数幂大小的常用方法一是单调性法：不同底的指（对）数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二是取中间值法：不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．三是图解法：根据指（对）数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．1.指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，11,a，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y＝ax与1xya(a0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(3)指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小．2．换底公式的三个重要结论①logab＝1logba；②logambn＝nmlogab；③logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数图象的特点(1)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1,1a，函数图象只在第一、四象限．(2)函数y＝logax与y＝log1ax(a0且a≠1)的图象关于x轴对称．(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．【易错点1】解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a1及0a1进行分类讨论．【易错点2】在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.【易错点3】研究对数函数问题应注意函数的定义域．【易错点4】解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a1及0a1进行分类讨论．1．已知当x0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A．2,13B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．20,3【答案】C【解析】【解析】选C.根据指数函数性质知3a－21，解得a1.故选C.2.已知113xy，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()【答案】A【解析】y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；113xy与y3＝10－x＝110x在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.3.若函数y＝a|x|(a0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()【答案】B【解析】由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象大致为选项B.4．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0【答案】D【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.5.已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则()A．abcB．acbC．bcaD．cba【答案】【解析】方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得ab，由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得cb，故选D.方法二：因为ab＝0.10.31，且bc＝0.5341，又a，b，c都为正数，所以cba，故选D.6．已知loga12＝m，loga3＝n，则am＋2n＝()A．3B．34C．9D．92【答案】D【解析】【解析】选D.因为loga12＝m，loga3＝n，所以am＝12，an＝3.所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝12×32＝92.7．设1213214,log,log23abc，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】B【解析】a＝4－12＝1412＝12，b＝log1213＝log23log22＝1，c＝log32log33＝12，且c＝log32log33＝1，即12c1，所以acb，故选B.8．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________．【答案】10【解析】因为2a＝5b＝m0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.9．计算：0.5729＋0.1－2＋23102273π0＋3748＝________．【答案】100【解析】原式＝25912＋10.12＋6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.10．已知函数f(x)＝lnx＋b，x1，ex－2，x≤1，若f(e)＝－3f(0)，则b＝_____，函数f(x)的值域为____．【答案】2(－2，e－2]∪(2，＋∞)【解析】由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝lnx＋2，x1，ex－2，x≤1.当x1时，y＝lnx＋22；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．一、单选题1．（2022·重庆南开中学模拟预测）设函数2log6,12,1xxxfxx，则22log6ff（）A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】设函数2log6,12,1xxxfxx，则2log62222log6log622log86369ff.故选：B.2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log3mp，9pn，其中0m且1m，0n且1n，若20mn，则p的值为（）A．3log2B．2log3C．2D．3【答案】A【解析】因为1log3mp，所以3logmp，得3pm，所以2223923(3)0ppppmn.即3(23)0pp.因为30p，所以32p，解得3log2p故选：A．3．（2022·江苏南通·模拟预测）某市卫健委用模型ln1ykxb的回归方程分析2022年4月份感染新冠肺炎病毒的人数，令eyz后得到的线性回归方程为3ezx，则b（）A