考向08函数与方程（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向08函数与方程1．（2022年北京卷第14题）设函数21,()(2),axxafxxxa，若()fx存在最小值，则a的一个取值为，a的最大值为________．【答案】0（答案不唯一），1【解析】由题意知，函数最值于函数单调性相关，故可考虑以0,2为分界点研究函数()fx的性质，当0x时，()1,fxaxxa，该段的值域为2(,1)a，故整个函数没有最小值；当0a时，()1,fxaxxa该段值域为1，而2()(2),fxxxa的值域为0,，故此时()fx的值域为0,，即存在最小值为0，故第一个空可填写0；当02a时，()1,fxaxxa，该段的值域为21,a，而2()(2),fxxxa的值域为0,，若存在最小值，则需满足210a，于是可得01a；当2a时，()1,fxaxxa，该段的值域为21,a，而2()(2),fxxxa的值域为2(2),a，若存在最小值，则需满足221(2)aa，此不等式无解。综上，a的取值范围是0,1，故a的最大值为1.2．（2022年浙江卷第14题）已知22,1()11,1xxfxxxx，则1(())2ff；若当[,]xab时，1()3fx，则ba的最大值为．【答案】37,3328【解析】由题可知：117()2244f，所以1737(())()2428fff．当1x时，令()[1,3]fx，解得[1,1]x；当1x时，令()[1,3]fx，解得(1,23]x．所以()[1,3]fx的解集为[1,23]．所以ba的最大值为3+3．3．（2022年天津卷第15题）定义函数()fx代表2x与235xaxa中较小的数，若()fx至少有3个零点，求a的取值范围____________【答案】[10,)a【解析】2()min2,35fxxxaxa设2()35,gxxaxa()gx在(,2)(2,)上的零点才会成为()fx的零点，2只有在(2)0g时才会成为()fx的零点，()fx至少有个零点有以下三种情况：①(2)0,(2)0()gggx且()gx在(,2)(2,)上有两个零点，转化为253xyx与ya的交点105101105aaaa此或情况无解②(2)0,(2)0gg且()gx在(,2)(2,)上有两个零点105101105aaaa此或情况无解③(2)0,(2)0gg且()gx在(,2)(2,)上至少有一个零点，1051010110aaaaa或综上所述：a的取值范围是[10,)a1.判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2.根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．3.利用函数零点位置的对称性求和（1）将函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题；（2）①如果两个函数图像都关于直线x=a对称，那么这两2个函数图像的交点也关于直线x=a对称，则对应的两零点之和为2a。②如果两个函数图像都关于点（a，0）对称，那么这两个函数图像的交点也关于点（a，0）对称，则对应的两零点之和为2a。有关函数零点的三个结论1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．【易错点1】函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．【易错点2】函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．1．函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致范围是()A．(1，2)B．(2，3)C．1e，1和(3，4)D．(4，＋∞)2.函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)3．已知实数a1，0b1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)4．设函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点5.函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．06．已知函数f(x)＝x2－2x，x≤0，1＋1x，x0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．37．函数f(x)＝1－x2，|x|≤1，|x|，|x|1，若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足()A．a＝1B．a1C．0≤a1D．a08.已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．9．若函数f(x)＝2x－a，x≤0，lnx，x0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．10.函数f(x)＝ln（－x－1），x－1，2x＋1，x≥－1，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．一、单选题1．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（）A．若函数yfx的定义域为1,1，则1yfx的定义域为0,2B．若正三角形ABC的边长为2，则2ABBCC．已知函数2log11fxx，则函数yfx的零点为1,0D．“”是“tantan”的既不充分也不必要条件2．（2021·河南·模拟预测（理））已知a是方程lg3xx的解，b是方程21003xx的解，则（）A．232abB．23abC．23abD．322ab3．（2022·北京西城·一模）如图，曲线C为函数5sin(0)2yxx≤≤的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)mn，乙粒子的坐标为(,)uv，若记()nvfm，则下列说法中正确的是（）A．()fm在区间(,)2上是增函数B．()fm恰有2个零点C．()fm的最小值为2D．()fm的图象关于点5(,0)6中心对称4．（2021·四川·成都七中三模（理））已知函数cos22fxxx，下列对于函数fx性质的描述，错误的是（）A．6x是fx的极小值点B．fx的图象关于点,22对称C．fx有且仅有三个零点D．若fx区间,ab上递增，则ba的最大值为5．（2021·浙江绍兴·二模）已知0a，kR，设函数3,()1,xaxxtfxkxkxt，若对任意的实数(1,1)t，都有()fx在区间(,)上至少存在两个零点，则（）A．01a，且01kB．1a，且01kC．01a，且1k³D．1a，且1k³6．（2021·四川凉山·二模（文））集合1,2,3,4A，yfx是A到A的函数，方程fxffx恰好有两个不同的根，且123410fff，则函数yfxx的零点个数为（）A．1B．2C．1或2D．4二、多选题7．（2022·山东威海·三模）已知函数()||fxxaax，则（）A．当1a时，函数()fx的定义域为[2,0]B．当0a时，函数()fx的值域为RC．当1a时，函数()fx在R上单调递减D．当10,4a时，关于x的方程()faxa有两个解8．（2022·全国·模拟预测）已知定义域为R的偶函数()fx有4个零点1x，2x，3x，4x1234xxxx，并且当0x时，21fxxax，则下列说法中正确的是（）A．实数a的取值范围是,22,B．当0x时，21fxxaxC．12341xxxxD．1234234xxxx的取值范围是23,9．（2022·河北保定·一模）已知a、b分别是方程20xx，30xx的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.A．10baB．10abC．33abbaD．22baab10．（2021·全国·二模）已知函数321,02691,0xxfxxxxx，则下列关于函数fx说法正确的是（）A．函数fx有一个极大值点B．函数fx在0,上存在对称中心C．若当1,xa时，函数fx的值域是1,5，则14aD．当15m时，函数21gxfxmfxm恰有6个不同的零点.三、填空题11．（2021·四川成都·模拟预测（文））已知fx是定义在R上的奇函数，当0x时，121,02()1(2),22xxfxfxx有下列结论：①函数fx在6,5上单调递增；②函数fx的图象与直线yx有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程2[()](1)()0()fxafxaaR恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数fx在*21,2kkkN上的最大值为ka，则数列na的前7项和为12764.其中所有正确结论的编号是___________.12．（2022·北京房山·一模）函数fx的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若fx在区间（0,2）上存在零点，则(0)(2)0ff”为假命题的一个函数fx的解析式可以为fx=___________.1．（2020·全国高考真题（理））若242log42logabab，则（）A．2abB．2abC．2abD．2ab2．（2019·浙江高考真题）已知,abR，函数32,0()11(1),032xxfxxaxaxx，若函数()yfxaxb恰有三个零点，则A．1,0abB．1,0abC．1,0abD．1,0ab3.(2018全国卷Ⅰ)已知函数0,ln0,xxxexfx，axxfxg．若xg存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）4．（2017新课标Ⅲ）已知函数211(