考向13 简单的三角恒等变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向13简单的三角恒等变换1．【2022年新高考2卷第6题】角,满足sin()cos()22cos()sin4，则A．tan()1B．tan()1C．tan()1D．tan()1【答案】D【解析】解法一：设0则sincos0，取34，排除A，C；再取0则sincos2sin，取4，排除B；选D．解法二：由sin()cos()2sin()2sin[()]442sin()cos2cos()sin44，故2sin()cos2cos()sin44，故sin()coscos()sin044，即sin()04，故22sin()sin()cos()0422，故sin()cos()，故tan()1．故选D.2.【2022年北京卷第5题】已知函数22()cossinfxxx，则（A）()fx在()26,上单调递减（B）()fx在()412,上单调递增（C）()fx在(0)3,上单调递减（D）()fx在7()412,上单调递增【答案】C【解析】因为22cossincos2fxxxx.对于A选项，当26x时，23x，则fx在,26上单调递增，A错；对于B选项，当412x时，226x，则fx在,412上不单调，B错；对于C选项，当03x时，2023x，则fx在0,3上单调递减，C对；对于D选项，当7412x时，7226x，则fx在7,412上不单调，D错.故选：C.3．【2022年浙江卷第13题】若3sincos10,2，则sin，cos2．【答案】3104,105【解析】由题3sincos10,2，所以3sincos10，解得310sin10．所以24cos2cos(π2)cos212cos5．1.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．2.三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．4.三角公式求值中变角的解题思路①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．5.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．1.降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2.升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.4.辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.1.明确二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍．2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．1．sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α＝()A．－12B．－32C.12D.322．已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B.211C.112D．－1123.已知3sinα＋cosα＝23，则cos2π3－2α＝()4．若2cos2θcosπ4＋θ＝3sin2θ，则sin2θ＝()A．13B．23C．－23D．－135．(多选)下列各式的值等于32的是()A．2sin67.5°cos67.5°B．2cos2π12－1C．1－2sin215°D．2tan22.5°1－tan222.5°6．(多选)下列四个命题中是真命题的是()A．∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyC．∀x∈[0，π],1－cos2x2＝sinxD．sinx＝cosy⇒x＋y＝π27．求4sin20°＋tan20°的值为________．8．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝________．9.已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝513，sin(α－β)＝35，则cos2α＝________．10．已知sinα＝－45，α∈3π2，2π，若sin（α＋β）cosβ＝2，则tan(α＋β)＝________．一、单选题1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））若1sin72，则3sin214（）A．35B．12C．12D．132．（2022·广东汕头·二模）若sin160tan203，则实数的值为（）A．4B．43C．23D．4333．（2022·湖北武汉·二模）设sin32k，则1tan16tan16（）A．2kB．1kC．2kD．k4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式21sincoscos02xxxmmR对,43x恒成立，则m的最小值为（）A．234B．12C．22D．225．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin5，且3ππ,2，则1tan21tan2（）A．12B．12C．2D．26．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））设sin203tan50m，8cos20cos40cos80n，在平面直角坐标系内，点,Pmn为角终边上任意一点，则sin2gxx的一个对称中心为（）A．5,08pB．3,02C．,0D．0,07．（2021·上海虹口·二模）在平面上，已知定点2,0A，动点sin,cosP.当在区间,44上变化时，动线段AP所形成图形的面积为（）A．24B．33C．6D．48．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知,abR，设函数1()cos2fxx，2()cosfxabx，若当12()()fxfx对[,]()xmnmn恒成立时，nm的最大值为3π2，则（）A．21aB．21aC．22bD．22b二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知函数223cos2xfx，则下列说法正确的有（）A．函数fx的最大值为2B．函数fx在区间2ππ,36上单调递增C．函数fx图像的一个对称中心为1π,2D．将函数fx的图像向左平移π2个单位长度得到函数13sin12yx的图像10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）向量22(sin,cos),sin(),cos,0,242xxaxxb函数()fxab，则下述结论正确的有（）A．若()fx的图像关于直线2x对称，则可能为12B．周期T时，则()fx的图像关于点3,08对称C．若()fx的图像向左平移3个单位长度后得到一个偶函数，则的最小值为34D．若()fx在2,56上单调递增，则30,2三、填空题11．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知1cos63，则5cos6的值为______．12．（2021·江西九江·二模（文））费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于23时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23.已知点P为ABC的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2sincos6ACB，且22()6bac，则PAPBPBPCPAPC的值为__________.13．（2022·全国·模拟预测）已知263，43sinsin4sincostan315315315，则______．14．（2021·广东深圳·二模）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC的三个内角均小于120时，则使得120APBBPCCPA的点P即为费马点．已知点P为ABC的费马点，且ACBC，若||||||PAPBPC，则实数的最小值为_________．1．（2021·北京高考真题）若点(cos,sin)P与点(cos(),sin())66Q关于y轴对称，写出一个符合题意的___．2．(2021年高考全国甲卷理科)若cos0,,tan222sin，则tan()A．1515B．55C．53D．1533．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则()A．cos2α0B．cos2α0C．sin2α0D．sin2α04．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知 π()0,，且3cos28cos5，则sin()A．53B．23C．13D．595．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=()A．–2B．–1C．1D．26．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知0,2，2sin2cos21，则sin()A．15B．55C．33D．2557．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若1sin3，则cos2()A．89B．79C．79D．898．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若()cossinfxxx在,aa是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若3tan4,则2cos2sin2()A．6425B．4825C．1D．162510．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若π3cos45，则sin2()A．725B．15C．15D．7251．【答案】C【解析】原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2