考向14 三角函数的单调性和最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析

考向14三角函数的单调性和最值1.【2022年北京卷第5题】已知函数22()cossinfxxx，则A.()fx在()26,上单调递减B.()fx在()412,上单调递增C.()fx在(0)3,上单调递减D.()fx在7()412,上单调递增【答案】C【解析】因为22cossincos2fxxxx.对于A选项，当26x时，23x，则fx在,26上单调递增，A错；对于B选项，当412x时，226x，则fx在,412上不单调，B错；对于C选项，当03x时，2023x，则fx在0,3上单调递减，C对；对于D选项，当7412x时，7226x，则fx在7,412上不单调，D错.故选：C.2.【2022年乙卷文科第11题】函数()cos(1)sin1fxxxx在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为A．ππ,22B．3ππ,22C．ππ,222D．3ππ,222【答案】D【解析】()(1)cosfxxx，当π(0,)2x时，()0fx；当π3π(,)22x时，()0fx；当3π(,2π)2x时，()0fx.所以，3π3π()()22fxf极小值;ππ()()222fxf极大值.又(0)(2π)2ff，所以min3π3π()()22fxf;maxππ()()222fxf.故选D.3．【2022年新高考2卷第9题】函数)0)(2sin()(xxf的图象以)0,32(中心对称，则A．)(xfy在)125,0(单调递减；B．)(xfy在)1211,12(有2个极值点；C．直线67x是一条对称轴；D．直线xy23是一条切线．【答案】AD【解析】由题意得：0)34sin()32(f,所以k34即：k34，Zk又0，所以1k时，32,故)322sin()(xxf．选项A：)125,0(x时)23,32(322x，由uysin图象知)(xfy是单调递减的；选项B：)1211,12(x时)25,2(322x，由uysin图象知)(xfy只有1个极值点，由23322x可解得极值点；选项C：67x时3322x，0)(xfy，直线67x不是对称轴；选项D：由0)322cos(2'xy得：21)322cos(x，解得kx232322或kx234322，Zk从而得：kx或kx3，Zk所以函数)(xfy在点)23,0(处的切线斜率为132cos2|0'xyk，切线方程为：)0(23xy即xy23．1．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．1．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2及π2，π上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在π2，π及－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数【答案】B【解析】函数y＝4sinx在－π，－π2和π2，π上单调递减，在－π2，π2上单调递增．故选B.2．设函数f(x)＝sin2x－π3，x∈－π2，π，则以下结论正确的是()A．函数f(x)在－π2，0上单调递减B．函数f(x)在0，π2上单调递增C．函数f(x)在π2，5π6上单调递减D．函数f(x)在5π6，π上单调递增【答案】C【解析】选C.由x∈－π2，0得2x－π3∈－4π3，－π3，所以f(x)先减后增；由x∈0，π2得2x－π3∈－π3，2π3，所以f(x)先增后减；由x∈π2，5π6得2x－π3∈2π3，4π3，所以f(x)单调递减；由x∈5π6，π得2x－π3∈4π3，5π3，所以f(x)先减后增．3．函数y＝|cosx|的一个单调递增区间是()A．[－π2，π2]B．[0，π]C．[π，3π2]D．[3π2，2π]【答案】D【解析】选D.将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.4．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2x＋π3，则f(x)的最小值为()A.12B.14C.34D.22【答案】A【解析】选A.f(x)＝sin2x＋sin2x＋π3＝sin2x＋12sinx＋32cosx2＝54sin2x＋34cos2x＋32sinxcosx＝34＋1－cos2x4＋34sin2x＝1＋1232sin2x－12cos2x＝1＋12sin2x－π6≥1－12＝12，故选A.5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤fπ6对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ，kπ＋π2(k∈Z)B.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)【答案】B【解析】选B.因为f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，则fπ6为函数f(x)的最大值，即2×π6＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，则φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝π6，所以f(x)＝sin2x＋π6.令2x＋π6∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，则x∈kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．故选B.6．已知函数sincosfxaxbx在4x处取到最大值，则4fx（）A．奇函数B．偶函数C．关于点,0中心对称D．关于2x轴对称【答案】B【解析】因为()sincosfxaxbx在4x处取到最大值，即22()sin()fxabx，其中tanba，则sin()14，所以24k，kZ，所以22()sin()4fxabx，则2222()sin()cos42fxabxabx为偶函数．故选：B．7．已知函数2sinfxx（0，22）的最小正周期是，将fx的图象向左平移3个单位长度后所得的函数ygx图象过点0,2P，则关于函数gx的说法不正确的是（）A．2x是函数gx一条对称轴B．5,04是函数gx一个对称中心C．gx在区间3,2上单调递增D．gx在区间,44上单调递减【答案】D【解析】2，fx向左平移3个单位长度后所得到的函数是22sin23xxg，其中图象过0,2P，所以2sin13，因为22，6，所以2sin22cos22gxxx．因为2cos22g，所以2x是函数gx一条对称轴，故A正确因为552cos042g，所以5,04是函数gx一个对称中心，故B正确当3,2x时，23,2x，所以gx在区间3,2上单调递增，故C正确当,44x时，2,22x，所以gx在区间3,2上不单调递减，故D错误故选：D8.已知函数f(x)＝4sin2x－π3，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．【答案】－π，－7π12和－π12，0【解析】由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ(k∈Z)，又因为x∈[－π，0]，所以f(x)的单调递增区间为－π，－7π12和－π12，0.9.若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为.【答案】π2只要等于π2＋2kπ，k∈Z即可【解析】易知当y＝sin(x＋φ)，y＝cosx同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx取得最大值2，故sin(x＋φ)＝cosx，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.10.函数y＝cos2x＋2cosx的值域是_____.【答案】－32，3【解析】B［y＝cos2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2cosx＋122－32，因为cosx∈［－1，1］，所以原式的值域为－32，3.一、单选题1．（2022·陕西·千阳县中学一模（理））函数π()3sin23fxx的图象为C，如下结论中正确的是（）①图象C关于直线11π12x对称；②图象C关于点2π03，对称；③函数()fx在区间π5π1212，内是增函数；④由3sin2yx的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C．A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③【答案】D【解析】由于11π12x时，11ππ3πsin2sin11232，故①结论正确；由于2π3x时，2ππsin2sinπ033，故②结论正确；由πππ2π22π232kxk，解得π5πππ1212kxk，令0k得π5π1212x，故③结论正确；由于3sin2yx的图像向右平移3个单位长度得到π2π3sin22sin233yxx，故④结论错误.综上所述，正确结论为①②③.故选：D.2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数2sin22sinfxxx，则下列结论错误的是（）A．函数fx的最小正周期是πB．函数fx在区间ππ,82上单调递减C．函数fx的图象可由函数2sin2yx的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到D．函数fx的图象关于7π,18对称【答案】C【解析】2πsin22sinsin21cos2sin2cos212sin214fxxxxxxxx，所以函数