考向15 三角函数的图像变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向15三角函数的图像变换1．【2022年新高考1卷】记函数π()sin()(0)4fxxb的最小正周期为T．若2ππ3T，且()yfx的函数图象关于点3π(,2)2中心对称，则π()2fA．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】2π(2,3)T，()yfx的函数图象关于点3π(,2)2中心对称，则有2b，且3π()22f，所以3ππsin()2224，则3ππ2π,24Zkk；解得816k，由(2,3)得2k，52，故1π()225ππsin()21224f．2．【2022年浙江卷】为了得到2sin3yx的图像，只要把函数2sin35yx图像上所有点A．向左平移5个单位长度B．向右平移5个单位长度C．向左平移15个单位长度D．向右平移15个单位长度【答案】D【解析】函数图像平移满足左加右减，2sin32sin3515yxx，因此需要将函数图像向右平移15个单位长度，可以得到2sin3yx的图像。故本题选D．【点晴】三角函数图象变换中的三个注意点:(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是φω个单位．3.【2022年甲卷文科第11题】将函数fxsin03x的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是：A161.4B1.3C1.2D【答案】C【解析】记gx为fx向左平移2个单位后得到的曲线，则gx=2fx=sin23x由gx关于Y轴对称，可得：232k，kz，故有123k，所以的最小值为13.选C.4．【2022年甲卷理科第11题】已知()sin()3fxx区间在(0,)上恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是A．513,36B．519,36C．138,63D．1319,66【答案】C【解析】设3xt，则,33t，有两个零点可得233„，即5833„。又因为有三个极值点，(sin)costt，所以57232„，所以131966„，综上得13863„,即选C．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念1、,,A的作用（1）:A称为振幅，与sinyAx一个周期中所达到的波峰波谷有关（2）：称为频率，与sinyAx的周期T相关，即2T（3）：称为初相，一定程度上影响sinyAx的对称轴，零点2、,,A的常规求法：（1）A：①对于sinyAx可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到②对于sinyAxb可通过一个周期中最大，最小值进行求解：maxmin2yyA（2）：由2T可得：只要确定了sinyAx的周期，即可立刻求出，而T的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解①如果sinyAx相邻的两条对称轴为,xaxbab，则2Tba②如果sinyAx相邻的两个对称中心为,0,,0abab，则2Tba③如果sinyAx相邻的对称轴与对称中心分别为,,0xab，则4Tba注：在sinyAx中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．1.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T4.2.求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于,A与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A的值，再根据对称轴对称中心的距离确定T，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定.3.求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况.如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题.1.若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间[π3，π2]上单调递减，则ω的取值范围是()A．[0，23]B．[0，32]C．[23，3]D．[32，3]【答案】D【解析】令π2＋2kπ≤ωx≤32π＋2kπ(k∈Z)，得π2ω＋2kπω≤x≤3π2ω＋2kπω，因为f(x)在[π3，π2]上单调递减，所以π2ω＋2kπω≤π3，π2≤3π2ω＋2kπω.得：6k＋32≤ω≤4k＋3.又ω0，所以k≥0，又6k＋324k＋3，得0≤k34，所以k＝0.即32≤ω≤3，故选D.2．已知函数()2cos()1(0,0π)fxx经过(0,0)点，且()fx在(0,π)上只有一个零点0x，则的最大值为（）A．43B．12C．2D．136【答案】C【解析】因为()2cos()1fxx经过(0,0)点，所以12cos10cos2，因为0π，所以π3，即π()2cos()13fxx，令ππ1()2cos()10cos()332fxxx，因为π()0,x，所以πππ(,π)333x，因为()fx在(0,π)上只有一个零点0x，所以有5πππ43327ππ3π33，所以的最大值为2，故选：C3．若函数sin2fxx的图象由函数cos2gxx的图象经过以下变换得到的，则该变换为（）A．向左平移2个单位长度B．向左平移4个单位长度C．向右平移2个单位长度D．向右平移4个单位长度【答案】D【解析】由题意，函数πππcos2cos2sin2442gxxxx，所以函数cos2gxx向右平移4个单位长度，即可得到sin2fxx.故选：D.4．已知三角函数sin(||)yAx﹐（0且|1|2）的部分图像如图所示，则（）A．12,π,3AB．12,π,3AC．12,π,3AD．12,π,3A【答案】B【解析】最小正周期为122()233T，22，1,3kkZ，又12，所以13，1sin(0)33A，2A．故选：B．5．已知直线8x是函数()2sin(2)||2fxx的图像的一条对称轴，为了得到函数()yfx的图像，可把函数2cos26yx的图像（）A．向左平移24个单位长度B．向右平移24个单位长度C．向左平移12个单位长度D．向右平移12个单位长度【答案】B【解析】依题意，直线8x是函数()2sin(2)||2fxx的图像的一条对称轴，则2sin2288f，即2()82kkZ，解得()4kkZ，因为||2，所以4，所以函数()2sin24fxx．将2cos22sin22sin26263yxxx的图像，向右平移24个单位长度得2sin22sin22434yxx．故选：B．6．已知函数cos0,0,2fxAxA，将函数fx的图象向左平移34个单位长度，得到函数gx的部分图象如图所示，则3f（）A．12B．12C．32D．32【答案】A【解析】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知1A，237346124，解得：2,函数fx的图象向左平移34个单位长度，得3cos24gxx当6x时，3322,Z622kk，且2，得3所以cos23fxx，1cos332f.故选：A7．函数sin0,0,2fxAxA的部分图像如图所示，现将fx的图像向左平移6个单位长度，得到函数gx的图像，则gx的表达式可以为（）A．()2sin2gxx=B．2cos23gxxC．2sin6gxxD．2cos3gxx【答案】B【解析】由图像可知：max2fx，2A；又02sin1f，1sin2，又2，6，772sin012126f，由五点作图法可知：7126，解得：2，2sin26fxx；2sin22sin22cos2666626gxfxxxx2cos22cos233xx.故选：B.8.已知函数f(x)＝2sinωx在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪[32，＋∞)【解析】显然ω≠0.若ω0，当x∈[－π3，π4]时，－π3ω≤ωx≤π4ω，因为函数f(x)＝2sinωx在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω0，当x∈[－π3，π4]时，π4ω≤ωx≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，即ω≤－2.所以ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．1．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在π0,4上的函数πsin04fxx，若fx的最大值为5，则的取值最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】若fx的最大值为5，分两种情况讨论：①当πππ442，即3时，根据正弦函数的单调性可知，max15fx，解得5；②当πππ442，即03时，根据正弦函数的单调性可知，sinyx在ππ,22上单调递增，所以maxππsin0445fx，结合函数ππsin44yx与5xy在0,3上的图像可知，存在唯一的0,3，使得ππsin445.综上可知，若fx的最大值为5，则的取值最多有2个.故选：A．2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6fxx图像的一条对称轴方程为12x，若1x、2x是函数()fx的两个不同的零点，则12||xx的最小值为（）A．6B．4