考向17 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解

考向17平面向量的概念及线性运算1．（2022新高考1卷第3题）在ABC△中，点D在边AB上，2BDDA．记CAm，CDn，则CBA．32mnB．23mnC．32mnD．23mn【答案】B【解析】因为3CBCAABCAAD，又因为ADCDCA，所以23CBCACD，即23CBmn．故选B．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB)A．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC【答案】A【解析】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，∴12EBABAEABAD11()22ABABAC3144ABAC，故选A．3．（2020江苏第13题）在ABC中，4AB，3AC，90BAC，D在边BC上，延长AD到P，使得9AP，若3()2PAmPBmPC（m为常数），则CD的长度是．【答案】185【解析】由向量系数33()22mm为常数，结合等和线性质可知321PAPD，故263PDPA，3ADPAPDAC，故CCDA，故2CADC．在ABC中，3cos5ACCBC；在ADC中，由正弦定理得sinsinCDADCADC，即sin(2)sin23182cos23sinsin55CCCDADADCADCC．1.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．2.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．3.共线向量定理的应用（1）证明向量共线∶对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb（b≠0），则a与b共线（2）证明三点共线若存在实数λ，使ABAC，则A，B，C三点共线（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值1．三点共线的等价转化:A，P，B三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP→＝xOA→＋yOB→.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)2．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若AB→＝a，AD→＝b，用a，b表示MD→为()A.12a＋12bB．12a－12bC．－12a－12bD．－12a＋12b【答案】D【解析】MD→＝12BD→＝12(AD→－AB→)＝12(b－a)＝－12a＋12b.2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|【答案】C【解析】因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．3.如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则AB→＝()A.AC→－AD→B．2AC→－2AD→C.AD→－AC→D．2AD→－2AC→【答案】D【解析】连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以AB→＝2CD→＝2(AD→－AC→)＝2AD→－2AC→，故选D.4．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足CF→＝2FB→，那么EF→＝()A.12AB→－13AD→B．13AB→＋12AD→C.12AB→－23AD→D．14AB→＋12AD→【答案】C【解析】因为E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为CF→＝2FB→，所以CF→＝23CB→.所以EF→＝EC→＋CF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→＝12AB→－23AD→，故选C.5.在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且AN→＝13AM→，若AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝()A.13B．12C．－12D．－13【答案】A【解析】由题意，知AN→＝13AM→＝13(AB→＋BM→)＝13AB→＋13×32BC→＝13AB→＋12(AC→－AB→)＝－16AB→＋12AC→，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13，故选A.6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【答案】B【解析】由CB→＝λPA→＋PB→得CB→－PB→＝λPA→，CP→＝λPA→.则CP→，PA→为共线向量，又CP→，PA→有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．7．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是()A.AP→＝13AB→B．AQ→＝23AB→C．BP＝－23AB→D．AQ→＝BP→【答案】ABC【解析】由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中AB→＝a，CD→＝b【答案】AB【解析】对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝27e，b＝－87e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.9．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，MN→＝2e1－3e2，NP→＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．【答案】-4【解析】因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得MN→＝kNP→，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得2＝kλ，－3＝6k，解得λ＝－4.10．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________．(用a，b表示)【答案】b－a－a－b【解析】如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.一、单选题1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD中，2233AEABCFCD，，G为EF的中点，则DG（）A．1122ADABB．1122ABADC．3142ADABD．3142ABAD【答案】B【解析】1111112111·2222323622DGDEDFDAAEDCADABABABAD．故选：B.2．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e，2e是两个不共线的向量，122aee与12bee共线，则（）A．2B．2C．12D．12【答案】C【解析】因为122aee与12bee共线，所以kab，0k，所以12121212()22=kkeeeeeeeek，因为向量1e，2e是两个不共线的向量，所以21kk，解得12，故选：C．3．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m，n不共线，向量53OAmn，OBxmn，若O，A，B三点共线，则x（）A．53B．53C．35-D．35【答案】A【解析】因为O，A，B三点共线，则OAOB∥所以R，OBOA，即53xmnmn整理得：531xmn又∵向量m，n不共线，则5310x，则53x故选：A．4．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若20,0AFxAByACxy，则12xy的最小值为（）A．9B．8C．4D．2【答案】A【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以21xy，故12122222214529yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当22yxxy，即13xy时等号成立，故选：A5．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设1e，2e是平面内两个不共线的向量，121ABaee，1220,0ACbeeab，若A，B，C三点共线，则21ab的最小值是（）A．8B．6C．4D．2【答案】A【解析】1e，2e是平面内两个不共线的向量，121ABaee，1220,0ACbeeab，由A，B，C三点共线，则ABAC∥，则1212(21)aeeebe则有121ab，则有21ab0,0ab则212144(2)4428abababababbaba（当且仅当11,24ab时等号成立）故选：A6．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边ABC中，O为重心，D是OB的中点，则AD（）A．ABACB．2132ABACC．1124ABACD．2136ABAC【答案】D【解析】O为ABC的重心，延长AO交BC于E，如图，E为BC中点，则有2211()()3323AOAEABACABAC，而D是OB的中点，所以111121()222636ADABAOABABACABAC.故选：D7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2EOAE，则EB=（）A．1566ABADB．1566ABADC．5166ABADD．5166ABAD【答案】C【解析】因为2EOAE，所以111366AEAOACABAD，所以151666EBABAEABABADABAD.故选：C.8．（2016·西藏日喀则·二模（文））在ABC中，P、Q分别是边AB、AC上的点，且13APAB，13BQBC，若ABa，ACb，则PQuuur（）A．1133abB．1133abC．1133abD．1133ab【答案】A【解析】如图所示：1233PQBQBPBCBA1233ACABAB1133ABAC1133ab.故选：A.9．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若APxAByAC，则22xy的最大值为（）A．83B．2C．43D．1【答案】A【解析】作BC的平行