考向18平面向量的数量积及应用举例（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解

考向18平面向量的数量积及应用举例1．（2022甲卷理第13题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3b，则2abb．【答案】11【解析】221222113abbabbabb．2.（2022甲卷文科第13题）已知向量(,3)ma，(1,1)mb，若ab，则m________．【答案】34【解析】由ab，得330mm，解得34m．3.（2022乙卷理科第3题）已知向量,ab满足1a，3b，23ab，则abA．2B．1C．1D．2【答案】C【解析】由题设，23ab，得22449aabb，代入1a，3b，有44ab，故1ab.4.（2022乙卷文科第3题）3．已知向量2,1a,2,4b，则abA．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】由题可得4,3ab，则22435ab，选项D正确．（2022年新高考2卷第4题）已知(3,4)a，(1,0)b，catb，,,acbc，则tA．6B．5C．5D．6【答案】C【解析】由已知有(3,4)ct，cos,cos,acbc，故93163||5||1ttcc，解得5t.5.（2022北京卷第10题）10.在ABC中，3490.ACBCCP,,为ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PAPB的取值范围是（）（A）[53],（B）[35],（C）[64],（D）[46],【答案】D【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设(00)(30)(04)1(cossin)[02]CABPCP,,,,,,,设,,,22(3cossin)(cos4sin)3cos4sincossin3415sin()(sincos)[46]55PAPB,,,,所以选D.【方法2】注意：,|,|2PCCBPCCA，且0CACB2()()13cos,4cos,013cos,4sin,15sin[,PAPBPCCAPCCBPCPCCAPCCBCACBPCCAPCCBPCCAPCCAPCCA]其中，(0,),tan24.46PAPB≤≤6.（2021新高考1卷第10题）10．已知O为坐标原点，点1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，3(cos(),sin())P，(1,0)A，则A．12||||OPOPB．12||||APAPC．312OAOPOPOPD．123OAOPOPOP【答案】AC【解析】对于A：221||cossin1OP，222||cossin1OP，A对；因为221||(cos1)sin22cosAP，222||(cos1)sin22cosAP，所以B错；因为3(1,0)(cos(),sin())cos()OAOP，12coscossinsincos()OPOP，312OAOPOPOP，所以C对；而1(1,0)(cos,sin)cosOAOP，23(cos,sin)(cos(),sin())OPOPcoscos()sinsin()cos(2)，所以D错．故答案为AC．1.计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.3.求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a|＝a2＝a·a，|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．1.已知向量a，b的夹角为π3，若c＝a|a|，d＝b|b|，则c·d＝()A.14B．12C.32D．34【答案】B【解析】c·d＝a|a|·b|b|＝|a||ba，b|a||b|＝cosπ3＝12.故选B.2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为()A.55B．－55C．－255D．－355【答案】D【解析】由a＝(1，2)，可得|a|＝5，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，所以a·b＝－3，所以向量b在a方向上的投影为a·b|a|＝－355.故选D.3．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为()A．0B．－2a2C．2a2D．－a2【答案】A【解析】由非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，可得c＝－(a＋b)，所以a·c＝a·[－(a＋b)]＝－a2－a·b＝－a2－|a|·|ba，b．由于a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，所以a·c＝－a2－|a|·|b|cos120°＝－|a|2－2|a|2×－12＝0.故选A.4.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉＝()A.73B．23C.79D．29【答案】B【解析】因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又因为a·b＝0，c＝7a＋2b，所以|c|＝（7a＋2b）2＝3，a·c＝a·(7a＋2b)＝7，所以cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝73.因为〈a，c〉∈[0，π]，所以sin〈a，c〉＝23.故选B.5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|a＋2b|＝()A．22B．25C.17D．15【答案】C【解析】因为a－b＝(3，2)，所以|a－b|＝5，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝17.故选C.6．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－32B．－53C.53D．32【答案】A【解析】.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－32.7.(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA→＋AB→＋AC→＝0，且|OA→|＝|AB→|，下列结论正确的是()A.CA→在CB→方向上的投影长为－3B.OA→·AB→＝OA→·AC→C.CA→在CB→方向上的投影长为3D.OB→·AB→＝OC→·AC→【答案】BCD【解析】由OA→＋AB→＋AC→＝0得OB→＝－AC→＝CA→，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|OB→|＝|OA→|，又|OA→|＝|AB→|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝π6，所以CA→在CB→上的投影为|CA→|cosπ6＝2×32＝3，故C正确．因为OA→·AB→＝OA→·AC→＝－2，OB→·AB→＝OC→·AC→＝2，故B，D正确．8．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是()A.AB→－AC→＝BC→B.AB→＋BC→＋CA→＝0C．若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形D．若AC→·AB→0，则△ABC为锐角三角形【答案】BC【解析】由向量的运算法则知AB→－AC→＝CB→；AB→＋BC→＋CA→＝0，故A错，B对；因为(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝|AB→|2－|AC→|2＝0，所以|AB→|2＝|AC→|2，即AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，故C对；因为AC→·AB→0，所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC.9.如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB→与AC→的夹角为60°，则|MA→|＝____．【答案】132【解析】因为M为BC的中点，所以AM→＝12(AB→＋AC→)，所以|MA→|2＝14(AB→＋AC→)2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14(1＋9＋2×1×3cos60°)＝134，所以|MA→|＝132.10．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．【答案】－13【解析】因为|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，所以a·b＝－|b|2，令a与b的夹角为θ.所以cosθ＝a·b|a||b|＝－|b|23|b||b|＝－13.11.已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．【答案】712【解析】因为AP→⊥BC→，所以AP→·BC→＝0.又AP→＝λAB→＋AC→，BC→＝AC→－AB→，所以(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，即(λ－1)AC→·AB→－λAB→2＋AC→2＝0，所以(λ－1)|AC→||AB→|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.12．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2BE→＝BC→，设向量AE→，BD→的夹角为θ，则cosθ＝________．【答案】－1010【解析】方法一：因为2BE→＝BC→，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则|AE→|＝5，|BD→|＝22，AE→·BD→＝AB→＋12AD→·(AD→－AB→)＝12|AD→|2－|AB→|2＋12AD→·AB→＝12×22－22＝－2，所以cosθ＝AE→·BD→|AE→||BD→|＝－25×22＝－1010.方法二：因为2BE→＝BC→，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以AE→＝(2，1)，BD→＝(－2，2)，所以AE→·BD→＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cosθ＝AE→·BD→|AE→||BD→|＝－25×22＝－1010.一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知A，B，C，D在同一平面上，其中122BCBD，若点B，C，D均在面积为4π的圆上，则