考向18平面向量的数量积及应用举例（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学

考向18平面向量的数量积及应用举例1．（2022甲卷理第13题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3b，则2abb．【答案】11【解析】221222113abbabbabb．2.（2022甲卷文科第13题）已知向量(,3)ma，(1,1)mb，若ab，则m________．【答案】34【解析】由ab，得330mm，解得34m．3.（2022乙卷理科第3题）已知向量,ab满足1a，3b，23ab，则abA．2B．1C．1D．2【答案】C【解析】由题设，23ab，得22449aabb，代入1a，3b，有44ab，故1ab.4.（2022乙卷文科第3题）3．已知向量2,1a,2,4b，则abA．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】由题可得4,3ab，则22435ab，选项D正确．（2022年新高考2卷第4题）已知(3,4)a，(1,0)b，catb，,,acbc，则tA．6B．5C．5D．6【答案】C【解析】由已知有(3,4)ct，cos,cos,acbc，故93163||5||1ttcc，解得5t.5.（2022北京卷第10题）10.在ABC中，3490.ACBCCP,,为ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PAPB的取值范围是（）（A）[53],（B）[35],（C）[64],（D）[46],【答案】D【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设(00)(30)(04)1(cossin)[02]CABPCP,,,,,,,设,,,22(3cossin)(cos4sin)3cos4sincossin3415sin()(sincos)[46]55PAPB,,,,所以选D.【方法2】注意：,|,|2PCCBPCCA，且0CACB2()()13cos,4cos,013cos,4sin,15sin[,PAPBPCCAPCCBPCPCCAPCCBCACBPCCAPCCBPCCAPCCAPCCA]其中，(0,),tan24.46PAPB≤≤6.（2021新高考1卷第10题）10．已知O为坐标原点，点1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，3(cos(),sin())P，(1,0)A，则A．12||||OPOPB．12||||APAPC．312OAOPOPOPD．123OAOPOPOP【答案】AC【解析】对于A：221||cossin1OP，222||cossin1OP，A对；因为221||(cos1)sin22cosAP，222||(cos1)sin22cosAP，所以B错；因为3(1,0)(cos(),sin())cos()OAOP，12coscossinsincos()OPOP，312OAOPOPOP，所以C对；而1(1,0)(cos,sin)cosOAOP，23(cos,sin)(cos(),sin())OPOPcoscos()sinsin()cos(2)，所以D错．故答案为AC．1.计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.3.求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a|＝a2＝a·a，|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．1.已知向量a，b的夹角为π3，若c＝a|a|，d＝b|b|，则c·d＝()A.14B．12C.32D．342．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为()A.55B．－55C．－255D．－3553．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为()A．0B．－2a2C．2a2D．－a24.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉＝()A.73B．23C.79D．295．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|a＋2b|＝()A．22B．25C.17D．156．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－32B．－53C.53D．327.(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA→＋AB→＋AC→＝0，且|OA→|＝|AB→|，下列结论正确的是()A.CA→在CB→方向上的投影长为－3B.OA→·AB→＝OA→·AC→C.CA→在CB→方向上的投影长为3D.OB→·AB→＝OC→·AC→8．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是()A.AB→－AC→＝BC→B.AB→＋BC→＋CA→＝0C．若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形D．若AC→·AB→0，则△ABC为锐角三角形9.如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，AB→与AC→的夹角为60°，则|MA→|＝____．10．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．11.已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．12．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2BE→＝BC→，设向量AE→，BD→的夹角为θ，则cosθ＝________．一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知A，B，C，D在同一平面上，其中122BCBD，若点B，C，D均在面积为4π的圆上，则ACABBADA（）A．4B．2C．－4D．－22．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知向量(1,0)a，(1,3)b.若,,cacb，则c可能是（）A．2abB．abC．2abD．3ab3．（2021··模拟预测）已知点22,|(2)(7)2Pxyxy，点1*7,(1),nnnQnaanNn∣，则OPOQ的最大值为（）A．9B．8C．7D．64．（2022·全国·模拟预测）已知向量1,1ma，32,nb，0a，0b，则下列说法正确的是（）A．若1ab，则mn有最小值526B．若1ab，则mn有最小值6C．若mnurr∥，则23logmn的值为1D．若mn，则232ba的值为15．（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若2ABa，则ACAE（）A．2442aB．2422aC．2822aD．2842a6．（2022·山东潍坊·模拟预测）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则EAEB的最小值是（）A．－1B．1C．－3D．3二、多选题7．（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当2AB时，51BD，则下列结论正确的为（）A．DEDHuuuruuurB．0AFBJuuuruurC．512AHABuuuruuurD．CBCDJCJHuuruuuruuruuur8．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知O为坐标原点，3,0A，33,22B，πcos,sin03P，则下列结论正确的是（）A．OAB为等边三角形B．OPOB最小值为3C．满足OPAB的点P有两个D．存在一点P使得PAPBOP9．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知(cos,sin)a,(cos,sin)b,其中,[0,2π)，则以下结论正确的是（）A．若//ab，则B．若ab，则π||2或3π2C．若12abrr，则||1abD．若aba，则3()2aab10．（2022·山东聊城·三模）在直四棱柱1111ABCDABCD中，所有棱长均2，60BAD，P为1CC的中点，点Q在四边形11DCCD内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A．当点Q在线段1CD上运动时，四面体1ABPQ的体积为定值B．若AQ//平面1ABP，则AQ的最小值为5C．若1ABQ△的外心为M，则11ABAM为定值2D．若17AQ，则点Q的轨迹长度为23三、填空题11．（2022·四川广安·一模（理））早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”，如图，在△ABC中，3BC，4AC，5AB，点D是CB延长线上任意一点，则ACAD的值为__________．12．（2021·上海宝山·二模）如图，若同一平面上的四边形PQRS满足：(13)(1)mnRPnmQPmnSPuuruuuruur（0m，0n），则当△PRS的面积是△PQR的面积的13倍时，1mn的最大值为________13．（2021·浙江金华·三模）如图，在△ABC中，BDDEEC，2AFFB，2AMMD，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则MAMC___________.14．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知向量m，若对于满足7mama的任意向量a，都存在R，使得mam恒成立，则向量m的模mur的最大值为________.1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b