考向20等比数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向20等比数列1（2021年甲卷理科第7题）等比数列na的公比为q，前n项和为nS．设甲：0q．乙：nS是递增数列，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】11,2aq时，nS是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；nS是递增数列，可以推出110nnnaSS，可以推出0q，甲是乙的必要条件．故选：B．2.（2021年甲卷文科第9题）记nS为等比数列{}na的前n项和．若24S，46S，则6SA．7B．8C．9D．10【答案】A【解析】由题意可知，124aa，342aa，因为{}na是等比数列，所以561aa，从而64217S．3.（2022年乙卷理科第8题，文科第10题）已知等比数列{}na的前3项和为168，2542aa，则6aA．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】设等比数列{}na首项1a，公比q由题意，1232516842aaaaa，即2131(1)168(1)42aqqaqq，即2121(1)168(1)(1)42aqqaqqqq解得，12q，196a，所以5613aaq4．（2021年上海第8题）已知等比数列123,nnaba，na的各项和为9，则数列nb的各项和为________．【答案】185【解析】因为na的各项和为9，13a，所以191aq，解得23q，所以12492nnnba即数列的各项和为1221841519bSq5.（2022新课标2卷第17题）已知{}na为等差数列，{}nb是公比为2的等比数列，且223344ababba（1）证明：11ab；（2）求集合1{|,1500}kmkbaam剟中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列{}na公差为d由2233abab，知1111224adbadb，故12db由2244abba，知1111283adbbad，故111243adbdad；故1112adbda，整理得11ab，得证．（2）由（1）知1122dba，由1kmbaa知：111121kbamda即11111212kbbmbb，即122km，因为1500m剟，故1221000k剟，解得210k剟故集合1{|,1500}kmkbaam剟中元素的个数为9个．1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件．利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．3.解决等比数列基本运算问题的两种常用思想(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解;(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C.(A，B，C均不为零)1．在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.2．在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形．1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝()A．－2B．2C．－8D．－2或－8【答案】C【解析】依题意知S1＝a1＝－2，S3＝a1＋a1q＋a1q2＝－6，解得q＝－2(q＝1舍去)，故a3＝a1q2＝－2×(－2)2＝－82．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()A．16B．15C．8D．7【答案】B【解析】设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝1×（1－24）1－2＝15，故选B.3．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12【答案】C【解析】当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，a1q2＝7，a1（1－q3）1－q＝21，得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.4.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q＝()A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，所以a1＋a2＝3，a3＋a4＝12，两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，因为数列是正项等比数列，所以q＝2，故选D.5.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a2a16a9的值为()A．－2＋22B．－2C.2D．－2或2【答案】B【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a3·a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，a9＝a3q6＜0，则a9＝－2，所以a2a16a9＝a29a9＝a9＝－2.6.设单调递增等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则正确的是()A．Sn＝2n－1－1B．an＝2nC．Sn＋1－Sn＝2n＋1D．Sn＝2n－1【答案】D【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a2a3a4＝64，所以a33＝64，解得a3＝4.又a2＋a4＝10，所以4q＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.又等比数列{an}单调递增，所以q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，所以Sn＝1－2n1－2＝2n－1，Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.因此只有选项D正确，故选D.7．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是()A.1anB．{log2a2n}C．{an＋an＋1}D．{an＋an＋1＋an＋2}【答案】AD【解析】当等比数列{an}的通项公式为an＝1时，log2a2n＝0，数列{log2a2n}不是等比数列，当等比数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，由等比数列的定义知1an和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列．故选AD.8．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且2a3＋3a7＝6，则a5的值可能是()A．2B．4C.85D.83【答案】ABD【解析】因为数列{an}是正项等比数列，所以a3＞0，a7＞0，a5＞0.由6＝2a3＋3a7≥22a3·3a7＝26a3a7＝26a25当且仅当2a3＝3a7时，等号成立，得a5≥2.因此符合题意的选项为ABD.故选ABD.9.已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－18，若Sk＝－118，则k＝________．【答案】5【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a2＝1，a5＝－18，所以q3＝－18，解得q＝－12，所以a1＝－2，由Sk＝－21－－12k1－－12＝－118，解得k＝5.10.设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.则通项公式an＝________．【答案】3n－1【解析】设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得a1＋a1q＝4，a1q2－a1＝8.解得a1＝1，q＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n－1.11．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为________．【答案】±8【解析】设a2与a10的等比中项为G，因为a2＝4，a10＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.12．在等比数列{an}中，若a1a5＝16，a4＝8，则a6＝________．【答案】32【解析】因为a1a5＝16，所以a23＝16，所以a3＝±4.又a4＝8，所以q＝±2.所以a6＝a4q2＝8×4＝32.13.在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝6，a2＝12－a3，所以6q＝12－6q2，解得q＝－2或q＝1，所以an＝6×(－2)n－1或an＝6.(2)①若an＝6×(－2)n－1，则Sn＝6×[1－（－2）n]3＝2[1－(－2)n]，由Sm＝66，得2[1－(－2)m]＝66，解得m＝5.②若an＝6，q＝1，则{an}是常数列，所以Sm＝6m＝66，解得m＝11.综上，m的值为5或11.14.在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．求证：数列{bn}是等比数列．【解析】因为点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，所以Tn＝－12bn＋1.①所以Tn－1＝－12bn－1＋1(n≥2)．②①②两式相减，得bn＝－12bn＋12bn－1(n≥2)．所以32bn＝12bn－1，所以bn＝13bn－1.由①，令n＝1，得b1＝－12b1＋1，所以b1＝23.所以数列{bn}是以23为首项，13为公比的等比数列．一、单选题1．（2022·上海奉贤·二模）若a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①,,abbccd；②,,abbccd；③,,abbccd，必成等比数列的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】若a，b，c，d为1,1,1,1，则,,abbccd不为等比数列，①不符合；由a，b，c，d必非零且公比为q，则,,abbccd也非零且公比为2q，②符合；若a，b，c，d为1,1,1,1，则,,abbccd不为等比数列，③不符合；故选：B2．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：41.22.07，51.22.49）A．83B．60C．50D．44【答案】B【解析】设每年应扣除的消费资金为x万元，则1年后投入再生产的资金为：500(120%)x，2年后投入再生产的资金为：2[500(120%)](120%)500(120%)(120%)xxxx，L5年后投入再生产的资金为：5432500(120%)(120%)(120%)(120%)(120%)800xxxxx∴551.215001.28001.21x，∴60x.3．（2022·四川凉山·三模（理））下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（）A．ABC中，:pA