考向23二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（

考向23二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．（2022年乙卷文科第5题）若,xy满足约束条件2240xyxyy≥≤≥，则2zxy的最大值是A.2B.4C.8D.12【答案】C【解析】解法1：作图可知2zxy在点(4,0)处取得最大值8解法2：求出可行域的三个顶点坐标(0,2)，(2,0)，(4,0)分别求出目标函数值为2，4，8比较得2zxy的最大值为8.2．（2022年浙江卷第3题）若实数,xy满足约束条件2027020xxyxy，则34zxy的最大值是（）.A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，可知过点(2,3)时取到最大值18，故选B．3．（2021年浙江卷第5题）若实数,xy满足约束条件0231010xxyxy，则12zxy的最小值是（）.A．2B．32C．12D．110【答案】B【解析】如图，画出可行域，显然过点1,1时，取到最小值，即min13122z，故选B．1.一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2.一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．3.两个防范(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．(2)求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.易错点1：混淆动直线的截距与所求最值间的对应关系这一错解告诉我们先将目标函数改写为动直线的斜截式方程再从中|确定目标函数值与动直线截距间的对应关系,是准确求解线性规划问题的第一步.易错点2：无视动直线与可行域边界直线间的相对倾斜程度当线性约束条件表示的可行域为一多边形时，,明确动直线与可行域边界直线的相对倾斜情况，是正确求解线性规划问题的第二步.-般地，可先观察直线斜率的正负然后再根据斜率绝对值的大小来确定动直线与边界直线的相对倾斜情况.易错点3：忽视变量实际意义“想当然”推断最优解求最优整数解是线性规划的难点.本题的剖析其实给同学们展示了一种求最优整数解的简便方法:第一步求出不考虑整数条件时的最优解A及此时的目标函数值z(A).若A恰好为整数解,则问题解决;若A不是整数解则进入第二步在该“最优解”附近求得某一整数解B及此时的目标函数值z(B);第三步推断介于z(A)与z(B)之间的可能的目标函数值,并求出该目标函数值对应的所有整数解;第四步验证这些整数解是否在可行域内.易错点4：分析、转化问题不全面求解二元一次式的绝对值这个问题似乎并没有直接指向线性规划,但我们通过转化使其具有了线性意义.设z=2r+y,找出这一目标函数的最值,等于变相地去掉了绝对值符号.但如果分析不全面,仍然可能导致错解.可见线性转化、全面分|析乃是线性规划应用的原则.1．不等式组x－3y＋6＜0，x－y＋2≥0表示的平面区域是()ABCD【答案】C【解析】把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x－y＋2≥0表示的平面区域内。2.不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2，表示的平面区域的面积为()A．1B．12C．2D．52【答案】A【解析】不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2，表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面区域的面积．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1，故选A.3．不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4，所表示的平面区域的面积等于()A.32B．23C.43D．34【答案】C【解析】由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A0，43，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.4．已知实数x，y满足不等式组：2200xyxyy，则满足条件的点,Pxy所表示平面区域的面积为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】如图，阴影部分即不等式组对应的平面区域，则对应区域为三角形OAB.由202xyxy得24xy即2,4A令2xy中0y则2,0B，则2OB，故12442OABS△.故选：D.5．设,xy满足约束条件240,240,40,xyxyy„…„则zxy的最大值为（）A．8B．6C．4D．4【答案】A【解析】作出可行域和目标函数，当直线zxy经过点12,4A时，z有最大值，最大值为8.故选：A6．若实数x，y满足约束条件20,270,20,xxyxy则34zxy的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340xyz过A时z有最大值.由2270xxy可得23xy，故2,3A，故max324318z，故选：B.7．实数x，y满足约束条件326483xyxyxy，则zxy的最大值为_______【答案】2【解析】如图，作出约束条件326483xyxyxy表示的可行域，目标函数zxy可化为yxz，当且仅当动直线yxz经过点A时，z取得最大值，由32648xyxy，解得(2,0)A，z的最大值为2.8．若x，y满足约束条件241010xyxyy，则z＝x－2y的最大值为________．【答案】0【解析】由题意，作出241010xyxyy所表示的平面区域，如图所示，联立1010xyy，解得21xy，即2,1B，由可行域可知，当直线122zyx过点2,1B时，z取得最大值，最大值为2210z，9．若实数x，y满足约束条件2122xyxyyx，则目标函数2zxy的最小值为_________．【答案】3【解析】作出约束条件对应的可行域，如下图所示联立212xyxy，可得点(1,1)A，目标函数2zxy整理为122zyx，由图象可得，当目标函数122zyx过点(1,1)A时，截距最小，z有最小值，此时123z.故答案为：310．设x，y满足约束条件23250yxxy则zxy的最小值为___________．【答案】2【解析】画出可行域如下图：由图可知，当直线zxy过点(3,1)时，z取得最小值2．1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若实数x，y满足约束条件210220xyxy，则22zxy的最小值为（）A．255B．45C．55D．15【答案】B【解析】作出不等式组210220xyxy所表示的区域如下图：则22zxy的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，O点到直线220xy的距离最小，由点到直线距离公式，可得22225512d，所以245d，所以22zxy的最小值为45，故选：B．2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））已知实数x，y满足1010330xyxyxy，则目标函数2121yzx的取值范围为（）A．(,1][3,)B．(,3][1,)C．[1,3]D．[3,1]【答案】B【解析】作出约束条件的可行域，如图阴影部分所示，其中(1,0),(0,1),(2,3)ABC，12121212yyzxx表示定点11,22M与可行域内点(,)xy连线的斜率，因为121112MAk，112312MBk，所以z的取值范围是(,3][1,)．故选：B3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知实数x，y满足2203xyxyy，则2zxy（）A．最小值为-7，最大值为2B．最小值为-2，最大值为7C．最小值为-7，无最大值D．最大值为2，无最小值【答案】C【解析】作出可行域，如图所示阴影部分：，2zxy，即122zyx，直线越往上移z的取值越小，当直线往上平移至经过点1,3A时，z取最小值，此时min1237z，当直线往下平移至经过点2,0B时，2z，因为该点取不到，所以z无法取到最大值，即2zxy的最小值为-7，无最大值．故选：C．4．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知x，y满足约束条件3300xyxyxy，则2zxy的最小值为（）A．-3B．0C．3D．6【答案】C【解析】不等式组表示的可行域如图所示阴影部分，作直线:20lxy，在直线2xyz中，z表示直线的纵截距，向上平移直线z增大，向下平移直线z减小，平移该直线，当它过点(0,3)A时，23zxy为最小值．故选：C．5．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））如果点(,)Pxy在平面区域22021020xyxyxy上，则222xyy的最小值是（）A．45B．95C．1D．2【答案】A【解析】如图，作出22021020xyxyxy表示的平面区域，图中ABC区域，，而22222+(+1)1xyyxy，设点(0,1)Q,即222xyy表示的是(,)Pxy和定点(0,1)Q的距离的平方减去1，由图可知，联立21020xyxy，解得(1,1)A,而(1,0)B,则222||112,||125BQAQ，Q到直线AB的距离为|3|3555d,35255,故当PQ垂直于AB时，||PQ最小，则222xyy的最小值为2354155，故选：A6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若实数x，y满足的约束条件101020xxyxy，则3yzx的取值范围是（）A．[3,1)B．(,3](1,)C．[3,3]D．(,3][3,)【答案】B【解析】作出约束条