考向22不等式性质与基本不等式（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版

考向22不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a，1cos4b，14sin4c，则A．cbaB．bacC．abcD．acb【答案】A【解析】构造函数21()1cos2hxxx，0,2x，则()()singxhxxx，()1cos0gxx„所以()(0)0gxg„，因此，()hx在0,2上递减，所以1()(0)04habh，即ab．另一方面，114sintan4411cos44cb，显然0,2x时，tanxx，所以114sintan44111cos44cb，即bc．因此cba．2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m，1011ma，89mb，则()A．0abB．0abC．0baD．0ba【答案】A【解析】由910m，可得9log10(11.5)m,．根据a，b的形式构造函数()1mfxxx(1x)，则1()1mfxmx，令()0fx，解得110mxm，由9log10(11.5)m,知0(0)x,．()fx在(1),上单调递增，所以(10)(8)ff，即ab，又因为9log10(9)9100f，所以0ab，答案选A．3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1ea，19b，ln0.9c，则A．abcB．cbaC．cabD．acb【答案】C【解析】令exax，1xbx，ln(1)cx，①lnlnln[lnln(1)]abxxxx，ln(1),(0.0.1]yxxx；1'1011xyxx，所以0y„，所以lnln0ab„，所以ba②eln(1),(0,0.1]xacxxx，1(1)(1)e1'ee11xxxxxyxxx，令()(1)(1)1xkxxxe，所以2'()(12)e0xkxxx，所以()(0)0kxk，所以'0y，所以0ac，所以ac．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意22,,1xyxyxy，则A．1xyB．2xyC．222xyD．221xy【答案】BC【解析】由221xyxy得223122yxy令3cossincos23323sin?sin?23yxxyy故3sincos2sin2,26xy，故A错，B对；2222323sincossin33xy314242                sin2cos2sin2,2,333333(其中3tan3)，故C对，D错.5.（2022年北京卷第11题）函数1()1fxxx的定义域是_________．【答案】,00,1【解析】因为11fxxx，所以100xx，解得1x且0x，故函数的定义域为,00,1；故答案为：,00,16.（2022年乙卷理科第14题）已知1xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，若21xx，则a的取值范围是___________【答案】e1,0【解析】exaaxfxln2'至少要有两个零点1xx和2xx，我们对其求导，eaaxfx2ln22''，（1）若1a，则xf''在R上单调递增，此时若00''xf，则xf'在0,x上单调递减，在,0x上单调递增，此时若有1xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，则21xx，不符合题意。（2）若10a，则xf''在R上单调递减，此时若00''xf，则xf'在0,x上单调递增，在,0x上单调递减，且20lnlogaexa。此时若有1xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，且21xx，则需满足00'xf，即22ln12ln12lnln1lnln1lnlnlnlnlnloglnaaaaeaaeaaeeaeaaa，可解得ea或ea10，由于10a，取交集即得ea10。技巧一：加上一个数或减去一个数使和或积为定值技巧二：平方后再使用基本不等式----一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．技巧三：展开后求最值----对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．技巧四：形如f（x）g（x）型函数变形后使用基本不等式-----若y＝f（x）g（x）中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．技巧五：用“1”的代换法求最值技巧六：代换减元求最值技巧七：比较两个数(式)大小的方法有作差法、作商法、构造函数法1．倒数性质(1)ab，ab0⇒1a1b；(2)a0b⇒1a1b；(3)ab0，dc0⇒acbd.2．有关分数的性质若ab0，m0，则(1)bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)；(2)aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．3.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；2．求范围乱用不等式的加法原理致错．3．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；4．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．1．若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A．pqB．p≤qC．pqD．p≥q【答案】B【解析】(作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝（b2－a2）（b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.故选B.2．若6a10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18]B．(15，30)C．[9，30]D．(9，30)【答案】D【解析】因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a，因为6a10，所以9c30.故选D.3．若ab0，cd0，则一定有()A.ac－bd0B.ac－bd0C.adbcD.adbc【答案】D【解析】因为cd0，所以0－d－c，又0ba，所以－bd－ac，即bdac，又因为cd0，所以bdcdaccd，即bcad.4．已知x0，y0，且1x＋9y＝1，则x＋y的最小值为()A．12B．16C．20D．24【答案】B【解析】由题意知x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝1＋yx＋9xy＋9≥1＋2yx×9xy＋9＝16，当且仅当x0y01x＋9y＝1yx＝9xy，即x＝4y＝12时取等号，故选B.5.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝()A．9B．7C．5D．3【答案】B【解析】因为x－1，所以x＋10，所以y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1·9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时取等号，所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，所以2a＋3b＝7.6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0B．98C．2D．94【答案】C【解析】z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时zxy取得最小值，于是x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·y＋2－y22＝2，当且仅当y＝1时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.7．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有()A．若ab，cd，则a＋cb＋dB．若ab，cd，则b－ca－dC．若ab，cd，则acbdD．若ab，c0，则acbc【答案】AD【解析】因为ab，cd，由不等式的同向可加性得a＋cb＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4－2，－1－3，则4×(－1)(－2)×(－3)，故C不正确；因为ab，c0，所以acbc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.8．(多选)给出下面四个推断，其中正确的为()A．若a，b∈(0，＋∞)，则ba＋ab≥2B．若x，y∈(0，＋∞)，则lgx＋lgy≥2lgx·lgyC．若a∈R，a≠0，则4a＋a≥4D．若x，y∈R，xy0，则xy＋yx≤－2【答案】AD【解析】对于A项，因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2，当且仅当ba＝ab，即a＝b时取等号，故A项正确；对于B项，当x，y∈(0，1)时，lgx，lgy∈(－∞，0)，此时lgx＋lgy≥2lgx·lgy显然不成立，故B项错误；对于C项，当a0时，4a＋a≥4显然不成立，故C项错误；对于D项，若x，y∈R，xy0，则－yx0，－xy0，所以xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy·－yx＝－2，当且仅当－xy＝－yx，即x＝－y时取等号，故D项正确．故选AD.9．若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是________．【答案】(－π，0)【解析】由－π2απ2，－π2－βπ2，αβ，得－πα－β0.10.已知a0，b0，a＋b＝1，则1＋1a1＋1b的最小值为________．【答案】9【解析】1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．11.已知a0，b0，2a＋b＝4，则3ab的最小值为________．【答案】32【解析】因为2a＋b＝4，a0，b0，所以3ab＝62ab≥62a＋b22＝64＝32，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取“＝”，所以3ab的最小值为32.12．已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)【解析】因为ab2aab，所以a≠0，当a0时，b21b，即b21，b1，解得b－1；当a0时，b21b，即b21，b1无解．综上可得b－1.一、单选题1．（2022·浙江浙江·二模）已知0m，0n，且1mn，则下列结论正确的个数是（）①122mn的最小值是4；②sin1nm恒成立；③22loglog2mn恒成立；④222mnnmmn的最大值是2313．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①11122222224mnmnmn,当且仅当122m