考向28利用空间向量求空间角（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向28利用空间向量求空间角1.（2022年甲卷理科第18题）在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，//CDAB，1ADDCCB，2AB，3PD．（1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB的所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）55.【解析】（1）∵PD底面ABCD，∴PDBD，取AB中点E，连接DE，可知112DEAB，∵//CDAB，∴//CDBE，∴四边形BCDE为平行四边形，∴1DECB，∵12DEAB，∴ABD△为直角三角形，AB为斜边，∴BDAD，∵PDADD，∴BD平面PAD，∴BDPA.（2）由（1）知，PD，AD，BD两两垂直，223BDABAD，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)D，(1,0,0)A，(0,3,0)B，(0,0,3)P，∴(0,0,3)PD，(1,0,3)PA，(1,3,0)AB，设平面PAB的法向量为(,,)nxyz，则00PAnABn，即3030xzxy，不妨设1yz，则(3,1,1)n，设PD与平面PAB的所成角为，则35sincos,535PDnPDnPDn，∴PD与平面PAB的所成的角的正弦值为55.2.（2022年乙卷理科第18题）如图，四面体ABCD中,,,ADCDADCDADBBDCE为AC中点.(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设02,60,ABBDACB点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）437.【解析】（1）,ADCDADBBDCBD且为公共边,ADBBDC与全等ABBC.,EACADCD又为中点且,DEACBEAC同理.,DEBEEBED又且均含于平面,ACBED平面.,ACACD又平面平面BED平面ACD.(2)在ABC中，0=2,60,ABACBABBC=2,=3ACBE.在ACD中，,,,2,ADCDADCDAACCE为中点,,=1DEACDE.2222,,BDDEBEBDDEBE又即.AC直线、ED直线、EB直线两两互相垂直.由点F在BD上且,ADBBDC与全等AFFC，由于EAC为中点EFAC当AFC的面积最小时EFBD在RtDEB中，=3,=1BEDE33,22EFBF如图，以点E为坐标原点，直线ACEBED、、分别为xyz、、轴建立空间直角坐标系.(1,0,0)C、(1,0,0)A、(0,3,0)B、(0,0,1)D、33(0,,)44F(0,3,1)BD、(1,0,1)AD、(1,3,0)BC34CFBFBCBDBC=33(1,,)44设平面ABD的法向量为(,,)mxyz.可得00BDmADm设1y(3,1,3)m设m与CF所成的角为，CF与平面ABD所成角的为所以CF与平面ABD所成角的正弦值为437.3.（2022年新高考1卷）19．（12分）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，1ABC△的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．ABCA1B1C1D【答案】（1）2；（2）32.【解析】（1）设A到平面1ABC的距离为h，11111111443333AABCABCABCABCVSAAV△，11112233AABCABCVShh△，所以142233h，所以2h，所以A到平面1ABC的距离为2．(2)取1AB的中点E，连接AE，因为1AAAB，所以1AEAB，因为平面1ABC平面11ABBA，平面1ABC平面111ABBAAB，所以AE平面1ABC,=2AE，则1=2AAAB，所以AEBC，因为直三棱柱11ABCABC，所以1AABC，43sincos7mCFmCF因为1AEAAA，所以BC平面1ABBA，所以BCAB，由111111=22=422ABCABCVABBCAABC，所以=2BC，以BC为x轴，BA为y轴，1BB为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，ABCA1B1C1DExyz所以(0,0,0)B，(0,2,0)A，(2,0,0)C，1(0,2,2)A，(0,1,1)E，(1,1,1)D平面BDC的法向量设为1(0,1,1)nAE，平面BDA的法向量设为2(,,)nxyz，(0,2,0)BA，(1,1,1)BD，2200BAnBDn，所以200yxyz，所以0y，设1x，则1z，所以2(1,0,1)n，所以1212211cos2||||，nnnnnn，设二面角ABDC的平面角为，则23sin1cos2，所以二面角ABDC的正弦值为32．4.（2022年新高考2卷）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E是PB的中点，（1）求证：OE∥平面PAC；（2）若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）1113．【解析】（1）法一：连接OA、OB，因为PO是三棱锥PABC的高，所以PO平面ABC，所以POOA，POOB，所以90POAPOB，又PAPB，POPO，所以POAPOB，所以OAOB，作AB中点D，连接OD、DE，则有ODAB，又ABAC，所以ODAC∥，又因为OD平面PAC，AC平面PAC，所以OD∥平面PAC，又D、E分别为AB、PB的中点，所以，在BPA中，DEPA∥又因为DE平面PAC，PA平面PAC，所以DE∥平面PAC，又OD、DE平面ODE，ODDED，所以平面ODE∥平面PAC，又OE平面ODE，所以OE∥平面PAC；法二：（1）连接OA、OB,因为PO是三棱锥PABC的高，所以PO平面ABC，所以POOA,POOB，所以90POAPOB,又PAPB,POPO,所以POAPOB,所以OAOB,又ABAC,在RtABF中，O为BF中点，延长BO,交AC于F，连接PF,所以在PBF中，O、E分别为BF、PB的中点，所以EOPF∥,因为EO平面PAC,PF平面PAC,所以EO∥平面PAC；（2）法一：过点D作DFOP∥，以DB为x轴，DO为y轴，DF为z轴．建立如图所示的空间直角坐标系．因为3PO，5PA，由（1）=4OAOB，又30ABOCBO，所以2OD，23DB，所以(0,2,3)P，(23,0,0)B，(23,0,0)A，3(3,1,)2E，设ACa，则(23,,0)Ca，平面AEB的法向量设为1,,)nxyz（，直线AB的方向向量可设为1,0,0a=（），直线DP平面AEB，直线DP的方向向量为b0,2,3=（）1100anbn，所以0230xyz，所以0x，设3y，则2z，所以1-)n（0,3，2；平面AEC的法向量设为2,,)nxyz（，(0,,0)ACa，3(33,1,)2AE2200ACnAEn，所以033302ayxyz，所以0y，设3x，则6z，所以23-)n（,0，6；所以121221121243cos==13||||1339133nnnnnn，二面角CAEB的平面角为，则211sin1cos13，所以二面角CAEB的正弦值为1113法二：（2）过点A作AFOP,以AB为x轴，AC为y轴，AF为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为3PO,5PA,由（1）=4OAOB,又30ABOCBO，所以,43AB,所以(23,2,3)P,(43,0,0)B,(0,0,0)A,3(33,1,)2E,设ACa，则(0,,0)Ca，平面AEB的法向量设为1,,)nxyz（，3,0,0AB=（4），33,1,2AE=（3）1100ABnAEn，所以43033302xxyz，所以0x，设-2z，则3y，所以13-)n（0，，2；平面AEC的法向量设为2,,)nxyz（，(0,,0)ACa，3(33,1,)2AE2200ACnAEn,所以033302ayxyz，所以0y，设3x，则6z，所以23-)n（,0，6；所以121221121243cos==13||||1339133nnnnnn，二面角CAEB的平面角为，则211sin1cos13，所以二面角CAEB的正弦值为1113。1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：（1）选好基底或建立空间直角坐标系；（2）求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝|v1·v2||v1||v2|求解.2.利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3.利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.一、单选题1．如图，PA平面ABCD，ABCD为正方形，且PAAD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．26B．33C．36D．23【答案】C【解析】由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设2AD.则|24|3(2,2,0),(1,2,1),cos,686BDEFBDEF.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为36.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平面BCD，则直线AC与BD所成角余弦值为（）A．223B．63C．33D．13【答案】C【解析】由平面ABD平面BCD，ABBD平面ABD平面BCDBD，ABÌ平面ABD所以AB平面BCD，又DC平面BCD，所以ABDC，又DBDC所以作z轴//AB,建立空间直角坐标系Bxyz，如图设1AB，所以1,1,2BDDCBC则0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0ABCD所以1,1,1,0,1,0ACBD所以13cos,33ACBDACBDACBD故选：C3．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点E是上底面1111DCBA的中心，则异面直线AE与1BD所成角的余弦值为（）A．24B．23C．104D．63【答案】B