考向31直线和圆（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向31直线和圆1（2022·北京卷T3）若直线210xy是圆22()1xay的一条对称轴，则a（）A.12B.12C.1D.1【答案】A【解析】由题可知圆心为,0a，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a，解得12a．2.（2022·全国甲（文）T14）设点M在直线210xy上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为______________．【答案】22(1)(1)5xy【解析】∵点M在直线210xy上，∴设点M为(,12)aa，又因为点(3,0)和(0,1)均在M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴2222(3)(12)(2)aaaaR，222694415aaaaa，解得1a，∴(1,1)M，5R，M的方程为22(1)(1)5xy.3.（2022·全国乙理T14（文）T15）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为___________．【答案】222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy；【解析】依题意设圆的方程为220xyDxEyF，若过0,0，4,0，1,1，则01640110FDFDEF，解得046FDE，所以圆的方程为22460xyxy，即222313xy；若过0,0，4,0，4,2，则01640164420FDFDEF，解得042FDE，所以圆的方程为22420xyxy，即22215xy；若过0,0，4,2，1,1，则0110164420FDEFDEF，解得083143FDE，所以圆的方程为22814033xyxy，即224765339xy；若过1,1，4,0，4,2，则1101640164420DEFDFDEF，解得1651652FDE，所以圆的方程为2216162055xyxy，即2281691525xy；4.（2022·新高考Ⅰ卷T14）写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544yx或7252424yx或1x【解析】圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为143OOk，所以34lk，设方程为3(0)4yxttO到l的距离||19116td，解得54t，所以l的方程为3544yx，当切线为m时，设直线方程为0kxyp，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx当切线为n时，易知切线方程为1x，5.（2022·新高考Ⅱ卷T15）已知点(2,3),(0,)ABa，若直线AB关于ya的对称直线与圆22(3)(2)1xy存在公共点，则实数a的取值范围为________．【答案】13,32【解析】2,3A关于ya对称的点的坐标为2,23Aa，0,Ba在直线ya上，所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为32ayxa，即3220axya；圆22:321Cxy，圆心3,2C，半径1r，依题意圆心到直线l的距离223342132aada，即2225532aa，解得1332a，即13,32a；1．直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种判断方法：①代数法――――――――――――――――→联立方程得方程组消去x或y得一元二次方程，Δ＝b2－4acΔ＞0⇔相交Δ＝0⇔相切Δ＜0⇔相离②几何法――――――――――――→圆心到直线的距离为d半径为rd＜r⇔相交d＝r⇔相切d＞r⇔相离2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)．位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．1．线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.2．两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式4．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.5．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°＜θ＜90°90°90°＜θ＜180°k0k＞0不存在k＜02.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，不能忽略直线斜率不存在的情况．3．在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式．4．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．5．关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．一、单选题1．圆221:140Cxyx与圆222:(3)(4)15Cxy的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．相离【答案】A【解析】由221:140Cxyx与圆222:(3)(4)15Cxy，可得圆心12(7,0),(3,4)CC，半径127,15RR，则2212(73)(04)42CC，且2121715,715RRRR，所以211221RRCCRR，所以两圆相交.故选：A.2．设甲：实数3a；乙：方程2230xyxya是圆，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程2230xyxya表示圆，则221341040aa，解得：52a；∵532aa¿，532aa，，甲是乙的必要不充分条件.3．当圆224xy截直线:10lxmymmR所得的弦最长时，则m的值为（）A．2B．-1C．1D．2【答案】C【解析】要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心(0,0)，所以10m，可得1m.4．已知直线3400xyaa（）与圆224xy交于A、B两点，若22AB∣∣，则a=（）A．5B．52C．53D．10【答案】B【解析】由题知AOB是等腰直角三角形，由22AB及勾股定理得点O到直线的距离是2，故25ad，解得520aa．5．过直线5xy上的点作圆22:2410Cxyxy的切线，则切线长的最小值为（）A．32B．23C．15D．6【答案】B【解析】圆22:(1)(2)6Cxy的圆心为(1,2)C，半径为6，因为圆心1,2到直线5xy的距离125322d，所以切线长最小值为2218623ldr.6．直线:3410lxy被圆22:2440Cxyxy所截得的弦长为（）A．25B．4C．23D．22【答案】A【解析】由题意圆心1,2C，圆C的半径为3，故C到:3410lxy的距离为22381234，故所求弦长为2223225.7．已知P是半圆C：22yyx上的点，Q是直线10xy上的一点，则PQ的最小值为（）A．322B．21C．212D．22【答案】D【解析】由2222202(1)1(0)20xyyxxyxxyy，如图所示，显然当P运动到坐标原点时，PQ有最小值，最小值为原点到直线10xy的距离，即22min1221(1)PQ，8．在圆22:230Mxyx中，过点0,1E的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．22B．42C．62D．82【答案】B【解析】圆22:230Mxyx，即22:14Mxy，圆心为1,0M，半径2r，又22112ME，所以过点0,1E的最长弦24ACr，最短弦22222BDrME，且最短弦与最长弦互相垂直，所以1422ABCDSACBD；二、多选题9．已知圆22(1)(1)4xy与直线20xmym，则（）A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交所截的最短弦长为23D．直线与圆可以相切【答案】AC【解析】由题意，圆22(1)(1)4xy的圆心1,1C，半径2r，直线20xmym变形得210xmy，得直线过定点21A，，∵22211112CA，∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为22223rCA，故C对；10．已知M为圆C：2212xy上的动点，P为直线l：40xy上的动点，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C相切B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为322D．|PM|的最小值为22【答案】BD【解析】圆C：2212xy得圆心1,0C,半径2r∵圆心1,0C到直线l：40xy得距离2210432211dr∴直线l与圆C相离，A不正确，B正确；22PMPCrdr，C不正确，D正确；11．已知圆224xy上有且仅有三个点到直线l的距离为1，则直线l的方程可以是（）A．10xyB．6370xyC．20xyD．1x【答案】BCD【