考向30立体几何中的最值、翻折、探索性问题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通

考向30立体几何中的最值、翻折、探索性问题1.（2022·全国乙（文）T12）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13B.12C.33D.22【答案】C【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则2111sin222222ABCDSACBDACBDrrr（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为22r又22rh1则3222222212224322333327OABCDrrhVrhrrh当且仅当222rh即33h时等号成立，故选：C2.（2022·全国乙（理）T9）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13B.12C.33D.22【答案】C【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则2111sin222222ABCDSACBDACBDrrr（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为22r又22rh1则3222222212224322333327OABCDrrhVrhrrh当且仅当222rh即33h时等号成立，故选：C3.（2022·新高考Ⅰ卷T8）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4B.2781,44C.2764,43D.[18,27]【答案】C【解析】∵球的体积为36，所以球的半径3R,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah，22232(3)ah,所以26hl，2222alh所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936lllVShahll，所以5233112449696llVll，当326l时，0V，当2633l时，0V，所以当26l时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又3l时，274V，33l时，814V,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.1.解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等．2.三步解决平面图形翻折问题翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材．解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化．解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析和解决问题．而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试．3.立体几何中的探索性问题(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．1．如图，三棱锥OABC各棱的棱长均为3，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上的动点，则DE的最小值为（）A．22B．62C．32D．12．在棱锥ABCD中，AB平面BCD，BDDC，1ABBD，2DC，点P在线段AC上运动，则BPD△的面积的最小值为（）A．34B．66C．36D．12二、多选题3．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，线段11BD上有两个动点E，F，且22EF，则下列结论中正确的有（）A．当E点运动时，1ACAE总成立B．当E向1D运动时，二面角AEFB逐渐变小C．二面角EABC的最小值为45D．三棱锥ABEF的体积为定值4．如图，在直三棱柱111ABCABC中，90,2BACABAC，12,,,AAEFG分别是棱1111,,BCACAB的中点，D在线段11BC上，则下列说法中正确的有（）A．EF//平面11AABBB．BD//平面EFGC．存在点D，满足BDEFD．CDGD的最小值为342三、填空题5．如图，在直角梯形SABC中，90ABCBCS，过点A作ADSC交SC于点D，以AD为折痕把SAD折起，当几何体SABCD的的体积最大时，则下列命题中不正确的是___________（写出所有假命题的序号）.①ACSB②AB//平面SCD③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角6．如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且1EFAE．若2AB，1AD，13AA，则1BF的最小值为__________．7．在三棱锥PABC中，ABAC，点A在平面PBC中的射影是PBC的垂心，若PAB△，PAC△，ABC的面积之和为4，则三棱锥PABC的外接球表面积的最小值为______．8．已知正方体1111ABCDABCD棱长为4.若M是平面11BCCB内的动点，且AMMC，则1AM与平面11BCCB所成角的正切值的最大值为________.四．解答题9．如图1，已知ABC是边长为4的正三角形，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，将ADE沿DE折起，使点A到达如图2所示的点P的位置，M为DP边的中点．(1)证明：//PC平面MEF．(2)若平面PDE平面BCED，求平面MEF与平面PDE夹角的余弦值．10．如图，在棱长为a的正方体1111OABCOABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBF.(1)求证：11AFCE；(2)当三棱锥1BBEF的体积取得最大值时，求平面1BEF与平面BEF的夹角余弦值.1．已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，且ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点.(1)证明：BFDE；(2)当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？12．如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC∥，122ABADBC，沿对角线BD将ABD△折至ABDV的位置，记二面角ABDC的平面角为．(1)当90时，求证：平面ACD平面ABD；(2)若E为BC的中点，当120=?时，求二面角ADEB的正切值．1．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知圆锥的母线长为2，轴截面顶角的正弦值是12，过圆锥的母线作截面，则截面面积的最大值是（）A．1B．3C．1或2D．22．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））如图所示，在正方体ABCDABCD中，点P在线段AD上运动，设异面直线CP与BA所成的角为，则cos的最小值是___________.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知圆O的直径AB长为2，上半圆圆弧上有一点,30CCOB，点P是劣弧AC上的动点，点D是下半圆弧上的动点，现以AB为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接,,,POPDCD则三棱锥PCOD的最大体积为___________.4．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））在ABC中，45,3,tan3ABACA，点MN､分别在边ABBC､上移动，且MNBN，沿MN将BMN△折起来得到棱锥BAMNC，则该棱锥的体积的最大值是____________5．（2022·山西长治·高三阶段练习）在矩形ABCD中（图1），2AB，1AD，E为CD边上的中点，将ADE沿AE折起，使得平面ADE平面ABCE，连接DB，DC形成四棱锥DABCE．(1)求证：BEAD．(2)求平面BCD与平面AED夹角的余弦值．6．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）已知直角梯形ABCD，其中ABDC，ADCD，248ABCDAD，且O、M分别是CD、AB的中点，将梯形ABCD沿OM翻折，并连接AB、CD形成如下图的几何体ABCDOM．(1)判断几何体ABCDOM是哪种简单几何体，并证明；(2)若二面角AOMB的大小为90，求直线AD与平面COD的夹角的正弦值．7．（2022·河北·高三阶段练习）如图1，一副标准的三角板中，90BE，60A，DEEF，BCDF，将两三角板的边BC与DF重合，拼成一个空间图形EABC，且三角板EBC可绕边BC旋转.设M是AC的中点，N是BC的中点.(1)如图2，若EMAB，求证：平面ABC平面EBC；(2)如图3，若π6ENM，求平面EAC与平面EBC所成锐二面角的余弦值.8．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）如图，在几何体ABCDE中，底面ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC平面ACD，平面ABC平面,BCEDE平面,ABCADDE.(1)证明：DE平面ACD；(2)若22ACCD，设M为棱BE的中点，求当几何体ABCDE的体积取最大值时AM与CD所成角的正切值.1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如右圈，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A．圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．22．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设,,,ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．5433．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面而积的最大值为()A．334B．233C．324D．324．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球,若ABBC,6AB,8BC,13AA,则V的最大值是()A．4B．92C．6D．3235．（2015四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，,EF分别为,ABBC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_________．6．（2021北京卷8）定义：24h内降水在地面上的积水厚度（mm），10mm，为小雨；在1025mm之间为中雨；在2550mm之间为大雨；在50100mm之间为暴雨，小明用一个圆锥形容器接了24h，底面直径200mm，高300mm，水深150mmA．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨7．（2017•新课标Ⅰ，理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等