考向31直线和圆（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向31直线和圆1（2022·北京卷T3）若直线210xy是圆22()1xay的一条对称轴，则a（）A.12B.12C.1D.1【答案】A【解析】由题可知圆心为,0a，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a，解得12a．2.（2022·全国甲（文）T14）设点M在直线210xy上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为______________．【答案】22(1)(1)5xy【解析】∵点M在直线210xy上，∴设点M为(,12)aa，又因为点(3,0)和(0,1)均在M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴2222(3)(12)(2)aaaaR，222694415aaaaa，解得1a，∴(1,1)M，5R，M的方程为22(1)(1)5xy.3.（2022·全国乙理T14（文）T15）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为___________．【答案】222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy；【解析】依题意设圆的方程为220xyDxEyF，若过0,0，4,0，1,1，则01640110FDFDEF，解得046FDE，所以圆的方程为22460xyxy，即222313xy；若过0,0，4,0，4,2，则01640164420FDFDEF，解得042FDE，所以圆的方程为22420xyxy，即22215xy；若过0,0，4,2，1,1，则0110164420FDEFDEF，解得083143FDE，所以圆的方程为22814033xyxy，即224765339xy；若过1,1，4,0，4,2，则1101640164420DEFDFDEF，解得1651652FDE，所以圆的方程为2216162055xyxy，即2281691525xy；4.（2022·新高考Ⅰ卷T14）写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544yx或7252424yx或1x【解析】圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为143OOk，所以34lk，设方程为3(0)4yxttO到l的距离||19116td，解得54t，所以l的方程为3544yx，当切线为m时，设直线方程为0kxyp，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx当切线为n时，易知切线方程为1x，5.（2022·新高考Ⅱ卷T15）已知点(2,3),(0,)ABa，若直线AB关于ya的对称直线与圆22(3)(2)1xy存在公共点，则实数a的取值范围为________．【答案】13,32【解析】2,3A关于ya对称的点的坐标为2,23Aa，0,Ba在直线ya上，所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为32ayxa，即3220axya；圆22:321Cxy，圆心3,2C，半径1r，依题意圆心到直线l的距离223342132aada，即2225532aa，解得1332a，即13,32a；1．直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种判断方法：①代数法――――――――――――――――→联立方程得方程组消去x或y得一元二次方程，Δ＝b2－4acΔ＞0⇔相交Δ＝0⇔相切Δ＜0⇔相离②几何法――――――――――――→圆心到直线的距离为d半径为rd＜r⇔相交d＝r⇔相切d＞r⇔相离2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)．位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．1．线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.2．两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式4．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.5．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°＜θ＜90°90°90°＜θ＜180°k0k＞0不存在k＜02.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，不能忽略直线斜率不存在的情况．3．在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式．4．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．5．关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．一、单选题1．圆221:140Cxyx与圆222:(3)(4)15Cxy的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．相离2．设甲：实数3a；乙：方程2230xyxya是圆，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．当圆224xy截直线:10lxmymmR所得的弦最长时，则m的值为（）A．2B．-1C．1D．24．已知直线3400xyaa（）与圆224xy交于A、B两点，若22AB∣∣，则a=（）A．5B．52C．53D．105．过直线5xy上的点作圆22:2410Cxyxy的切线，则切线长的最小值为（）A．32B．23C．15D．66．直线:3410lxy被圆22:2440Cxyxy所截得的弦长为（）A．25B．4C．23D．227．已知P是半圆C：22yyx上的点，Q是直线10xy上的一点，则PQ的最小值为（）A．322B．21C．212D．228．在圆22:230Mxyx中，过点0,1E的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．22B．42C．62D．82二、多选题9．已知圆22(1)(1)4xy与直线20xmym，则（）A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交所截的最短弦长为23D．直线与圆可以相切10．已知M为圆C：2212xy上的动点，P为直线l：40xy上的动点，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C相切B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为322D．|PM|的最小值为2211．已知圆224xy上有且仅有三个点到直线l的距离为1，则直线l的方程可以是（）A．10xyB．6370xyC．20xyD．1x12．已知直线:20lxy与圆22:(1)(1)4Cxy，则（）A．直线l与圆C相离B．直线l与圆C相交C．圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线l的距离为1的点共有3个三、填空题13．已知两圆221:1Cxy与222:(2)(1)5Cxy交于,AB两点，则直线AB的方程为___________.14．已知圆:C2220xyx，若直线ykx被圆C截得的弦长为1，则k_______.15．已知a，b为正实数，直线yaxb将圆22(2)(1)1xy平分，则12ab的最小值是_________.16．已知直线l：1ykx与圆C：2212xy相交于,AB两点，若90ACB，则k的值为________．一、单选题1．（2021·江西赣州·二模（文））已知C的方程为2240xyx，过点(2,3)P作直线l与圆C交于A，B两点，弦长AB的最大值和最小值分别是等差数列na的首项和公差，则2021a（）A．4044B．8082C．4042D．80842．（2021·北京·人大附中模拟预测）已知圆C经过点1,0和1,0，且与直线1yx只有一个公共点，则圆心C的坐标为（）A．0,0B．0,1C．0,1D．0,1或0,13．（2021·辽宁实验中学二模）在直角坐标系xOy中，已知直线:cossin1lxy，当变化时，动直线始终没有经过点P．定点Q的坐标2,0，则PQ的取值范围为（）．A．0,2B．0,2C．1,3D．1,34．（2022·河北衡水中学模拟预测）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线1l，2l，3l，且2l，3l均与1l垂直.若动点M到23,ll的距离的乘积与到1l的距离的平方相等，则动点M在直线23,ll之间的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．（2021·全国·模拟预测）点已知动直线:220lkxyk恒过定点A，B为圆22:132Cxy上一点，若OAOB（O为坐标原点），则AOB的面积为（）A．85B．3C．165D．2456．（2022·湖南·雅礼中学模拟预测）已知两条直线1:2320lxy，2:3230lxy，有一动圆（圆心和半径都在变动）与12,ll都相交，并且12,ll被截在圆内的两条线段的长度分