考向32椭圆（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向32椭圆1.（2022·全国甲（文）T11）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，12,AA分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA，则C的方程为（）A.2211816xyB.22198xy+=C.22132xyD.2212xy【答案】B【解析】因为离心率22113cbeaa，解得2289ba，2289ba，12,AA分别为C的左右顶点，则12,0,,0AaAa，B为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)BAabBAab，因为121BABA所以221ab，将2289ba代入，解得229,8ab，故椭圆的方程为22198xy+=.2.（2022·全国甲（理）T10）椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A.32B.22C.12D.13【答案】A【解析】,0Aa，设11,Pxy，则11,Qxy，则1111,APAQyykkxaxa，故21112211114APAQyyykkxaxaxa，又2211221xyab，则2221212baxya，所以2221222114baxaxa，即2214ba，所以椭圆C的离心率22312cbeaa.3.（2022·新高考Ⅰ卷T16）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，||6DE，则ADE的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12cea，∴2ac，∴22223bacc，∴椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，∵222AFaOFcac，，，∴23AFO，∴12AFF△为正三角形，∵过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，DE为线段2AF的垂直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120xyc，整理化简得到：22136390ycyc，判别式2222634139616ccc，∴21213226461313cCDyy，∴138c，得1324ac，∵DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF，，∴ADE的周长等于2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到2FDE△周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa.4.（2022·新高考Ⅱ卷T16）已知椭圆22163xy，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且||||,||23MANBMN，则直线l的方程为___________．【答案】2220xy【解析】令AB的中点为E，因为MANB，所以MENE，设11,Axy，22,Bxy，则2211163xy，2222631xy，所以2222121206633xxyy，即12121212063xxxxyyyy所以1212121212yyyyxxxx，即12OEABkk，设直线:ABykxm，0k，0m，令0x得ym，令0y得mxk，即,0mMk，0,Nm，所以,22mmEk，即1222mkmk，解得22k或22k（舍去），又23MN，即22223MNmm，解得2m或2m（舍去），所以直线2:22AByx，即2220xy；5.（2022·全国乙（理）T20（文）T）21.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,2,,12AB两点．（1）求E的方程；（2）设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．【答案】（1）22143yx（2）(0,2)【解析】【小问1详解】解：设椭圆E的方程为221mxny，过30,2,,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆E的方程为：22143yx.【小问2详解】3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AByx，①若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得26(1,)3M，26(1,)3N，代入AB方程223yx，可得26(63,)3T，由MTTH得到26(265,)3H.求得HN方程：26(2)23yx，过点(0,2).②若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk，12222228(2)344(442)34kyykkkyyk，且1221224(*)34kxyxyk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyxy可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120xxyyxyxyyy，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6.（2022·浙江卷T21）如图，已知椭圆22112xy．设A，B是椭圆上异于(0,1)P的两点，且点0,21Q在线段AB上，直线,PAPB分别交直线132yx于C，D两点．（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（2）求||CD的最小值．【答案】（1）121111；（2）655．【解析】【小问1详解】设(23cos,sin)Q是椭圆上任意一点,(0,1)P,则222221144144||12cos(1sin)1311sin2sin11sin111111PQ，当且仅当1sin11时取等号，故||PQ的最大值是121111.【小问2详解】设直线1:2ABykx,直线AB方程与椭圆22112xy联立,可得22130124kxkx,设1122,,,AxyBxy，所以12212211231412kxxkxxk，因为直线111:1yPAyxx与直线132yx交于C,则111114422(21)1Cxxxxykx,同理可得,222224422(21)1Dxxxxykx.则12124415||142(21)1(21)1CDxxCDxxkxkx121221212122525(21)1(21)1(21)(21)1xxxxkxkxkxxkxx222394111611435161656565162315315315kkkkkk，当且仅当316k时取等号，故CD的最小值为655.1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1－b2a2求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔2．焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.(5)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为.(6)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.5．椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行于对称轴)的中点，则有6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长设直线l与圆锥曲线C的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l斜率为k，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝＋k2x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2].当直线l的斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|.1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中；(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2b2a.4．AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.一、单选题1．双曲线E与椭圆22:162xyC焦点相同且离心率是椭圆C离心率的3倍，则双曲线E的标准方程为()A．2213yxB．2221yxC．22122xyD．2213xy【答案】C【解析】双曲线E与椭圆22:162xyC焦点相同，则焦点坐标为(20)?，椭圆的离心率为4266，∴双曲线的离心率为2326，设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，焦距为2c，则c=2，22caa，∴2b，∴所求双曲线方程为：22122xy．2．“102a”是“方程22121xyaa表示的曲线为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】方程22121xyaa表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解