考向33双曲线（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向33双曲线1.（2022·全国乙（理）T11）11.双曲线C的两个焦点为12,FF，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C的两支交于M，N两点，且123cos5FNF，则C的离心率为（）A.52B.32C.132D.172【答案】C【解析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，所以1OGNF，因为123cos05FNF，所以N在双曲线的右支，所以OGa，1OFc，1GFb，设12FNF，21FFN，由123cos5FNF，即3cos5，则4sin5=，sinac，cosbc，在21FFN中，12sinsinsinFFN4334sincoscossin555baabccc，由正弦定理得211225sinsinsin2NFNFccFFN，所以112553434sin2252ccababNFFFNc，2555sin222ccaaNFc又12345422222ababaNFNFa，所以23ba，即32ba，所以双曲线的离心率221312cbeaa2.（2022·全国甲（文）T15）记双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为e，写出满足条件“直线2yx与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足15e皆可）【解析】2222:1(0,0)xyCabab，所以C的渐近线方程为byxa,结合渐近线的特点，只需02ba，即224ba，可满足条件“直线2yx与C无公共点”，所以221145cbeaa，又因为1e，所以15e，，故答案为：2（满足15e皆可）3.（2022·全国甲（理）T14）.若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430xyy相切，则m_________．【答案】33【解析】双曲线22210xymm的渐近线为yxm，即0xmy，不妨取0xmy，圆22430xyy，即2221xy，所以圆心为0,2，半径1r，依题意圆心0,2到渐近线0xmy的距离2211mdm，解得33m或33m（舍去）．故答案为：33．4.（2022·北京卷T12）已知双曲线221xym的渐近线方程为33yx，则m__________．【答案】3【解析】对于双曲线221xym，所以0m，即双曲线的标准方程为221xym，则1a，bm，又双曲线221xym的渐近线方程为33yx，所以33ab，即133m，解得3m；5.（2022·浙江卷T16）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，过F且斜率为4ba的直线交双曲线于点11,Axy，交双曲线的渐近线于点22,Bxy且120xx．若||3||FBFA，则双曲线的离心率是_________．【答案】364【解析】过F且斜率为4ba的直线:()4bAByxca，渐近线2:blyxa，联立()4byxcabyxa，得,33cbcBa，由||3||FBFA，得5,,99cbcAa而点A在双曲线上，于是2222222518181cbcaab，解得：228124ca，所以离心率36e4.6.（2022·新高考Ⅰ卷T21）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线l交C于P，Q两点，直线,APAQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan22PAQ，求PAQ△的面积．【答案】（1）1；（2）1629．【解析】（1）因为点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，所以224111aa，解得22a，即双曲线22:12xCy易知直线l的斜率存在，设:lykxm，1122,,,PxyQxy，联立2212ykxmxy可得，222124220kxmkxm，所以，2121222422,2121mkmxxxxkk，22222216422210120mkmkmk．所以由0APBPkk可得，212111022yyxx，即122121210xkxmxkxm，即1212212410kxxmkxxm，所以2222242124102121mmkkmkmkk，化简得，2844410kkmk，即1210kkm，所以1k或12mk，当12mk时，直线:21lykxmkx过点2,1A，与题意不符，舍去，故1k．（2）不妨设直线,PAPB的倾斜角为,，因为0APBPkk，所以π，因为tan22PAQ，所以tan22，即tan222，即22tantan20，解得tan2，于是，直线:221PAyx，直线:221PByx，联立2222112yxxy可得，232122104202xx，因为方程有一个根为2，所以10423Px，Py4253，同理可得，10423Qx，Qy4253．所以5:03PQxy，163PQ，点A到直线PQ的距离52122332d，故PAQ△的面积为116221622339．7.（2022·新高考Ⅱ卷T21）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点1122,,,PxyQxy在C上，且1210,0xxy．过P且斜率为3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②PQAB∥；③||||MAMB．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）2213yx（2）见解析【解析】（1）右焦点为(2,0)F，∴2c,∵渐近线方程为3yx，∴3ba，∴3ba，∴222244caba，∴1a，∴3b．∴C的方程为：2213yx；（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12xx，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为2ykx,则条件①M在AB上，等价于2000022ykxkykx；两渐近线的方程合并为2230xy,联立消去y并化简整理得：22223440kxkxk设3334,,,AxyBxy,线段中点为,NNNxy,则2342226,2233NNNxxkkxykxkk,设00,Mxy,则条件③AMBM等价于222203030404xxyyxxyy,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220xxxxxyyyyy，3403403434220yyxxxyyyxx,即000NNxxkyy,即200283kxkyk；由题意知直线PM的斜率为3,直线QM的斜率为3,∴由101020203,3yyxxyyxx,∴1212032yyxxx,所以直线PQ的斜率12012121232xxxyymxxxx,直线00:3PMyxxy,即0033yyxx,代入双曲线的方程22330xy,即333xyxy中，得：000032333yxxyx,解得P的横坐标：10000133233xyxyx,同理：20000133233xyxyx，∴00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx∴003xmy,∴条件②//PQAB等价于003mkkyx，综上所述：条件①M在AB上，等价于2002kykx；条件②//PQAB等价于003kyx；条件③AMBM等价于200283kxkyk；选①②推③:由①②解得：2200002228,433kkxxkyxkk,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223kxk，20263kkyk，∴003kyx，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223kxk，20263kkyk，∴02623xk，∴2002kykx，∴①成立.1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．2.用待定系数法求双曲线方程的步骤：(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组；(4)得方程，解方程组，将解代入所设方程，即为所求．3.双曲线x2m＋y2n＝1(mn＜0)的渐近线方程为x2m＋y2n＝0；以mx＋ny＝0为渐近线的双曲线方程可设为(mx)2－(ny)2＝λ(λ≠0)．4.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn0)．3.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式e2＝1＋k2；1．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线．(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线．(3)当2a|F1F2|时，P点不存在．2．双曲